Considere a equação diferencial 2 y'' + x y' + y = 0. Determine:
b) os quatro primeiros termos da solução;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para encontrar os quatro primeiros termos da solução, vamos usar uma série de potências, ou seja, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma soma de termos com potências de . Precisamos calcular os coeficientes de cada termo nessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser expressa como uma série de potências centrada em 0:
Aqui, , , e são os coeficientes que vamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de necessárias para substituir na equação diferencial:
Essas derivadas nos ajudarão a substituir na equação original.

Passo 4

Substituímos , e na equação :
Expandindo e agrupando os termos por potência de , igualamos cada coeficiente a zero para encontrar os valores de , , e .

Passo 5

Ao igualar os coeficientes de cada potência de a zero, obtemos:
  • Para :
  • Para :
  • Para : (continuaríamos para potencia maiores, mas como precisamos dos quatro primeiros termos, focamos até aqui)
Assumindo e como condições iniciais (por exemplo, e ), podemos resolver as equações para encontrar e .

Resposta

Os quatro primeiros termos da solução são:

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