Considere a equação diferencial
. Determine:
b) os quatro primeiros termos da solução;
b) os quatro primeiros termos da solução;
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para encontrar os quatro primeiros termos da solução, vamos usar uma série de potências, ou seja, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma soma de termos com potências de
. Precisamos calcular os coeficientes de cada termo nessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser expressa como uma série de potências centrada em 0:
Aqui,
,
,
e
são os coeficientes que vamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
necessárias para substituir na equação diferencial:
Essas derivadas nos ajudarão a substituir na equação original.
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação
:
Expandindo e agrupando os termos por potência de
, igualamos cada coeficiente a zero para encontrar os valores de
,
,
e
.
Passo 5
Ao igualar os coeficientes de cada potência de
a zero, obtemos:
- Para
: - Para
: - Para
: (continuaríamos para potencia maiores, mas como precisamos dos quatro primeiros termos, focamos até aqui)
Assumindo
e
como condições iniciais (por exemplo,
e
), podemos resolver as equações para encontrar
e
.
Resposta
Os quatro primeiros termos da solução são:
Exercícios relacionados
Considere a função
. Determine:
Assíntotas horizontais e verticais (se existirem);
Assíntotas horizontais e verticais (se existirem);
Considere a equação diferencial
. Determine:
c) escreva a solução geral.
c) escreva a solução geral.
Determine os extremos relativos, os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funçōes: (b)
Determine a função derivada das funções:
;