Considere a equação diferencial . Determine:
c) escreva a solução geral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para encontrar a solução geral da equação diferencial . Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar aplicar métodos de resolução de equações lineares com coeficientes variáveis e, possivelmente, utilizar séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo tudo por 2 para facilitar os cálculos:
Agora, identificamos que temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de . Essas equações podem ser complicadas, mas uma técnica que podemos usar aqui é procurar soluções em série de potências.

Passo 3

Vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Derivando essa série, temos:

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial:
Vamos ajustar os índices das somatórias para que todas tenham a mesma potência de .

Passo 5

Reescrevendo as somatórias com o mesmo índice:
Agora, combinamos os termos semelhantes:

Passo 6

Para que essa equação seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Portanto, temos a relação de recorrência:
Simplificando:

Passo 7

Essa relação de recorrência nos permite determinar os coeficientes em termos de e . Vamos separar as soluções em duas séries independentes:
  1. Solução com não nulo e :
  1. Solução com não nulo e :

Passo 8

Calculando os primeiros termos para cada caso:
  1. Para :
Resultando em uma série envolvendo apenas potências pares de .
  1. Para :
Resultando em uma série envolvendo apenas potências ímpares de .

Passo 9

Assim, a solução geral é a combinação das duas soluções independentes encontradas:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Dada a equação e considerando o ponto ordinário , determine:
c) Sabendo que as soluções dessa equação diferencial são
determine seus raios de convergência.
Considere a equação diferencial . Determine:
a) a fórmula de recorrência;
Considere a função . Determine:
Assíntotas horizontais e verticais (se existirem);
Considere a equação diferencial . Determine:
b) os quatro primeiros termos da solução;