Determine os extremos relativos, os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funçōes: (b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento da função .
Para resolver isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente a derivada da função. A derivada nos ajuda a entender como a função se comporta: se está subindo, descendo ou no ponto de máximo ou mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a .
A derivada de é:
Calculando cada termo:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos onde a derivada é zero, ou seja, resolver a equação . Esses pontos são chamados de pontos críticos e podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Então, temos:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 12:

Passo 4

Vamos resolver a equação . Para isso, tentamos encontrar as raízes dessa equação.
Testando :
Portanto, é uma raiz. Agora, fatoramos da equação original usando divisão polinomial ou fator comum:
Simplificando:
Isso dá as raízes:
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 5

Agora, vamos determinar se cada ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão. Para isso, vamos analisar o sinal da derivada antes e depois de cada ponto crítico.
Criamos uma tabela de sinais para :
  1. Para :
    Escolha : (negativo)
  2. Para :
    Escolha : (positivo)
  3. Para :
    Escolha : (negativo)
  4. Para :
    Escolha : (positivo)

Passo 6

Com base na tabela de sinais:
  • Em :
    • A derivada muda de negativa para positiva: isso indica um mínimo relativo.
  • Em :
    • A derivada muda de positiva para negativa: isso indica um máximo relativo.
  • Em :
    • A derivada muda de negativa para positiva: isso indica um mínimo relativo.

Passo 7

Agora, vamos resumir os intervalos de crescimento e decrescimento:
  • Crescimento:
    • Para : Derivada negativa, então a função está decrescendo.
    • Para : Derivada positiva, então a função está crescendo.
    • Para : Derivada negativa, então a função está decrescendo.
    • Para : Derivada positiva, então a função está crescendo.

Resposta

Os extremos relativos da função são:
  • Máximo relativo em
  • Mínimos relativos em e
Os intervalos de crescimento e decrescimento são:
  • Crescendo em e
  • Decrescendo em e

Exercícios relacionados

Considere a equação diferencial . Determine:
b) os quatro primeiros termos da solução;
Considere a função . Determine:
Assíntotas horizontais e verticais (se existirem);
Determine a função derivada das funções: ;
Determine a função derivada das funções: ;