Determine os extremos relativos, os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funçōes: (b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento da função
.
Para resolver isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente a derivada da função. A derivada nos ajuda a entender como a função se comporta: se está subindo, descendo ou no ponto de máximo ou mínimo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a
.
A derivada de
é:
Calculando cada termo:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos onde a derivada é zero, ou seja, resolver a equação
. Esses pontos são chamados de pontos críticos e podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Então, temos:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 12:
Passo 4
Vamos resolver a equação
. Para isso, tentamos encontrar as raízes dessa equação.
Testando
:
Portanto,
é uma raiz. Agora, fatoramos
da equação original usando divisão polinomial ou fator comum:
Simplificando:
Isso dá as raízes:
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 5
Agora, vamos determinar se cada ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão. Para isso, vamos analisar o sinal da derivada antes e depois de cada ponto crítico.
Criamos uma tabela de sinais para
:
-
Para
:
Escolha: (negativo) -
Para
:
Escolha: (positivo) -
Para
:
Escolha: (negativo) -
Para
:
Escolha: (positivo)
Passo 6
Com base na tabela de sinais:
-
Em
: - A derivada muda de negativa para positiva: isso indica um mínimo relativo.
-
Em
: - A derivada muda de positiva para negativa: isso indica um máximo relativo.
-
Em
: - A derivada muda de negativa para positiva: isso indica um mínimo relativo.
Passo 7
Agora, vamos resumir os intervalos de crescimento e decrescimento:
- Crescimento:
- Para
: Derivada negativa, então a função está decrescendo. - Para
: Derivada positiva, então a função está crescendo. - Para
: Derivada negativa, então a função está decrescendo. - Para
: Derivada positiva, então a função está crescendo.
- Para
Resposta
Os extremos relativos da função
são:
- Máximo relativo em
- Mínimos relativos em
e
Os intervalos de crescimento e decrescimento são:
- Crescendo em
e - Decrescendo em
e
Exercícios relacionados
Considere a equação diferencial
. Determine:
b) os quatro primeiros termos da solução;
b) os quatro primeiros termos da solução;
Considere a função
. Determine:
Assíntotas horizontais e verticais (se existirem);
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Determine a função derivada das funções:
;
Determine a função derivada das funções:
;