Dada a equação y^prime prime-y=0 e considerando o ponto ordinário x0=0, determine:
c) Sabendo que as soluções dessa equação diferencial são
y1(x)=sumn=0^infty x^2 n(2 n)! e y2(x)=sumn=0^infty x^2 n+1(2 n+1)!
determine seus raios de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a equação diferencial y1(x) = sumn=0^infty x^2n(2n)! e y2(x) = sumn=0^infty x^2n+1(2n+1)! e nos dá duas soluções em séries de potências:
Nos pede para determinar o raio de convergência dessas séries. Para isso, vamos precisar entender como calcular o raio de convergência de uma série de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos revisitar o que é o raio de convergência. O raio de convergência de uma série de potências é o valor tal que a série converge para todos os com e diverge para . Para encontrar , usamos geralmente o critério da razão ou o critério da raiz.

Passo 3

Vamos aplicar o critério da razão. Esse critério diz que, para uma série 1R = limn to infty | an+1an | , o raio de convergência é dado por:
Se esse limite existir, podemos determinar . Caso contrário, usamos outros métodos, mas neste caso, o critério da razão será suficiente.

Passo 4

Vamos começar com a primeira série y1(x) = sumn=0^infty x^2n(2n)! :
Aqui, o termo geral . Porém, para aplicar o critério da razão, precisamos expressar a série na forma padrão . Nesse caso, percebemos que os termos com ímpares não aparecem, mas para fins de cálculo do raio de convergência, podemos considerar apenas os termos pares.

Passo 5

Aplicando o critério da razão para limn to infty | an+1an | = limn to infty | x^2(n+1)(2(n+1))!x^2n(2n)! | = limn to infty | x^2 cdot (2n)!(2n+2)! | = limn to infty | x^2(2n+1)(2n+2) | :

Passo 6

Simplificando o limite:
limn to infty | x^2(2n+1)(2n+2) | = limn to infty | x^24n^2 + 6n + 2 | = 0
Como o limite é 0, que é menor que 1, isso nos indica que o raio de convergência é infinito.

Passo 7

Vamos repetir o mesmo processo para a segunda série y2(x) = sumn=0^infty x^2n+1(2n+1)! :
Aqui, o termo geral .

Passo 8

Aplicando o critério da razão para limn to infty | an+1an | = limn to infty | x^2(n+1)+1(2(n+1)+1)!x^2n+1(2n+1)! | = limn to infty | x^2 cdot (2n+1)!(2n+3)! | = limn to infty | x^2(2n+2)(2n+3) | :

Passo 9

Simplificando o limite:
limn to infty | x^2(2n+2)(2n+3) | = limn to infty | x^24n^2 + 10n + 6 | = 0
Assim como na primeira série, o limite é 0, o que significa que o raio de convergência também é infinito para .

Resposta

Ambas as séries e possuem raio de convergência infinito.

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