Dada a equação e considerando o ponto ordinário , determine:
c) Sabendo que as soluções dessa equação diferencial são
determine seus raios de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a equação diferencial e nos dá duas soluções em séries de potências:
Nos pede para determinar o raio de convergência dessas séries. Para isso, vamos precisar entender como calcular o raio de convergência de uma série de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos revisitar o que é o raio de convergência. O raio de convergência de uma série de potências é o valor tal que a série converge para todos os com e diverge para . Para encontrar , usamos geralmente o critério da razão ou o critério da raiz.
Passo 3
Vamos aplicar o critério da razão. Esse critério diz que, para uma série , o raio de convergência é dado por:
Se esse limite existir, podemos determinar . Caso contrário, usamos outros métodos, mas neste caso, o critério da razão será suficiente.
Passo 4
Vamos começar com a primeira série y1(x) = sumn=0^infty x^2n(2n)! :
Aqui, o termo geral . Porém, para aplicar o critério da razão, precisamos expressar a série na forma padrão . Nesse caso, percebemos que os termos com ímpares não aparecem, mas para fins de cálculo do raio de convergência, podemos considerar apenas os termos pares.
Passo 5
Aplicando o critério da razão para limn to infty | an+1an | = limn to infty | x^2(n+1)(2(n+1))!x^2n(2n)! | = limn to infty | x^2 cdot (2n)!(2n+2)! | = limn to infty | x^2(2n+1)(2n+2) | :
Passo 6
Simplificando o limite:
limn to infty | x^2(2n+1)(2n+2) | = limn to infty | x^24n^2 + 6n + 2 | = 0
Como o limite é 0, que é menor que 1, isso nos indica que o raio de convergência é infinito.
Passo 7
Vamos repetir o mesmo processo para a segunda série y2(x) = sumn=0^infty x^2n+1(2n+1)! :
Aqui, o termo geral .
Passo 8
Aplicando o critério da razão para limn to infty | an+1an | = limn to infty | x^2(n+1)+1(2(n+1)+1)!x^2n+1(2n+1)! | = limn to infty | x^2 cdot (2n+1)!(2n+3)! | = limn to infty | x^2(2n+2)(2n+3) | :
Passo 9
Simplificando o limite:
limn to infty | x^2(2n+2)(2n+3) | = limn to infty | x^24n^2 + 10n + 6 | = 0
Assim como na primeira série, o limite é 0, o que significa que o raio de convergência também é infinito para .
Resposta
Ambas as séries e possuem raio de convergência infinito.