Dada a equação e considerando o ponto ordinário , determine:
c) Sabendo que as soluções dessa equação diferencial são
determine seus raios de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a equação diferencial e nos dá duas soluções em séries de potências:
Nos pede para determinar o raio de convergência dessas séries. Para isso, vamos precisar entender como calcular o raio de convergência de uma série de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos revisitar o que é o raio de convergência. O raio de convergência de uma série de potências é o valor tal que a série converge para todos os com e diverge para . Para encontrar , usamos geralmente o critério da razão ou o critério da raiz.

Passo 3

Vamos aplicar o critério da razão. Esse critério diz que, para uma série , o raio de convergência é dado por:
Se esse limite existir, podemos determinar . Caso contrário, usamos outros métodos, mas neste caso, o critério da razão será suficiente.

Passo 4

Vamos começar com a primeira série :
Aqui, o termo geral . Porém, para aplicar o critério da razão, precisamos expressar a série na forma padrão . Nesse caso, percebemos que os termos com ímpares não aparecem, mas para fins de cálculo do raio de convergência, podemos considerar apenas os termos pares.

Passo 5

Aplicando o critério da razão para :

Passo 6

Simplificando o limite:
Como o limite é 0, que é menor que 1, isso nos indica que o raio de convergência é infinito.

Passo 7

Vamos repetir o mesmo processo para a segunda série :
Aqui, o termo geral .

Passo 8

Aplicando o critério da razão para :

Passo 9

Simplificando o limite:
Assim como na primeira série, o limite é 0, o que significa que o raio de convergência também é infinito para .

Resposta

Ambas as séries e possuem raio de convergência infinito.

Exercícios relacionados

Considere a equação diferencial . Determine:
a) a fórmula de recorrência;
Determine soluções em série de potências da equação diferencial
em torno do ponto ordinário . Encontre a relação de recorrência.
Considere a equação diferencial . Determine:
c) escreva a solução geral.
Considere a função . Determine:
Assíntotas horizontais e verticais (se existirem);