Considere a equação diferencial E possível garantir a unicidade de uma solução que passa pelo ponto ? E de uma solução que passa pelo ponto (2,-3)? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial: . A pergunta é se a solução dessa equação que passa pelos pontos e é única. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre unicidade de soluções em equações diferenciais e ver se as condições para isso se aplicam nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que está na equação diferencial, que é . Para que a função seja bem definida, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Ou seja:
Isso significa que a função está definida apenas para valores de maiores ou iguais a 3 ou menores ou iguais a -3.

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf, que basicamente diz que se a função e sua derivada em relação a forem contínuas num certo intervalo ao redor do ponto inicial, então existe uma única solução passando por esse ponto.

Passo 4

Vamos verificar se é contínua nos pontos de interesse. Para o ponto :
  • O valor de é 4, que está na faixa onde está definida (já que ).
  • Além disso, é contínua nesse intervalo.
Para o ponto :
  • O valor de é -3, que está no limite de onde está definida (já que ).
  • Precisamos ver se a função é diferenciável nesse ponto.

Passo 5

Vamos calcular a derivada de :
No ponto :
No ponto :
ã
Isso mostra que a derivada não existe em .

Passo 6

Como a função é contínua e diferenciável no ponto , o Teorema de Picard-Lindelöf garante que existe uma solução única passando por esse ponto.
No entanto, no ponto , a derivada de não está definida, o que significa que as condições do Teorema de Picard-Lindelöf não são satisfeitas. Portanto, não podemos garantir a unicidade da solução passando por .

Resposta

É possível garantir a unicidade de uma solução que passa pelo ponto . Já para o ponto , não é possível garantir a unicidade da solução.

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