Considere a equação diferencial
E possível garantir a unicidade de uma solução que passa pelo ponto
? E de uma solução que passa pelo ponto (2,-3)? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial:
. A pergunta é se a solução dessa equação que passa pelos pontos
e
é única. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre unicidade de soluções em equações diferenciais e ver se as condições para isso se aplicam nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função que está na equação diferencial, que é
. Para que a função seja bem definida, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Ou seja:
Isso significa que a função
está definida apenas para valores de
maiores ou iguais a 3 ou menores ou iguais a -3.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf, que basicamente diz que se a função
e sua derivada em relação a
forem contínuas num certo intervalo ao redor do ponto inicial, então existe uma única solução passando por esse ponto.
Passo 4
Vamos verificar se
é contínua nos pontos de interesse. Para o ponto
:
- O valor de
é 4, que está na faixa onde está definida (já que ). - Além disso,
é contínua nesse intervalo.
Para o ponto
:
- O valor de
é -3, que está no limite de onde está definida (já que ). - Precisamos ver se a função é diferenciável nesse ponto.
Passo 5
Vamos calcular a derivada de
:
No ponto
:
No ponto
:
Isso mostra que a derivada não existe em
.
Passo 6
Como a função
é contínua e diferenciável no ponto
, o Teorema de Picard-Lindelöf garante que existe uma solução única passando por esse ponto.
No entanto, no ponto
, a derivada de
não está definida, o que significa que as condições do Teorema de Picard-Lindelöf não são satisfeitas. Portanto, não podemos garantir a unicidade da solução passando por
.
Resposta
É possível garantir a unicidade de uma solução que passa pelo ponto
. Já para o ponto
, não é possível garantir a unicidade da solução.
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