Considere a equação diferencial y' = raiz(y^2 - 9) E possível garantir a unicidade de uma solução que passa pelo ponto 1,4 ? E de uma solução que passa pelo ponto (2,-3)? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial: . A pergunta é se a solução dessa equação que passa pelos pontos 1,4 e (2, -3) é única. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre unicidade de soluções em equações diferenciais e ver se as condições para isso se aplicam nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que está na equação diferencial, que é . Para que a função seja bem definida, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Ou seja:
Isso significa que a função f(y) está definida apenas para valores de y maiores ou iguais a 3 ou menores ou iguais a -3.

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf, que basicamente diz que se a função f(y) e sua derivada em relação a y forem contínuas num certo intervalo ao redor do ponto inicial, então existe uma única solução passando por esse ponto.

Passo 4

Vamos verificar se f(y) é contínua nos pontos de interesse. Para o ponto 1,4:
  • O valor de y é 4, que está na faixa onde f(y) está definida (já que ).
  • Além disso, f(y) é contínua nesse intervalo.
Para o ponto (2, -3):
  • O valor de y é -3, que está no limite de onde f(y) está definida (já que ).
  • Precisamos ver se a função é diferenciável nesse ponto.

Passo 5

Vamos calcular a derivada de f(y):
No ponto :
No ponto :
ã
Isso mostra que a derivada não existe em .

Passo 6

Como a função f(y) é contínua e diferenciável no ponto 1,4, o Teorema de Picard-Lindelöf garante que existe uma solução única passando por esse ponto.
No entanto, no ponto (2, -3), a derivada de f(y) não está definida, o que significa que as condições do Teorema de Picard-Lindelöf não são satisfeitas. Portanto, não podemos garantir a unicidade da solução passando por (2, -3).

Resposta

É possível garantir a unicidade de uma solução que passa pelo ponto 1,4. Já para o ponto (2, -3), não é possível garantir a unicidade da solução.

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