Resolva equaçãoes com variaveis separaveis:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que envolve separar as variáveis. O que temos aqui é uma equação que depende de e , e a gente quer encontrar uma relação entre essas duas variáveis que satisfaça a equação dada. Para isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar os termos que envolvem dos que envolvem . A equação original é:
Podemos reescrever isso como:
Assim, temos os termos de de um lado e os termos de do outro.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar funções potenciais que, ao derivarmos, nos dêem os termos originais. Vamos começar com o lado esquerdo:
Fazendo uma substituição , então , ou seja, . A integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar o lado direito:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Juntando as integrais, temos:
Vamos reorganizar essa expressão para isolar .

Passo 6

Aplicando a condição inicial , substituímos e na equação:

Passo 7

Substituindo de volta na equação, temos:
Vamos simplificar isso para encontrar uma relação mais clara entre e :
Multiplicando ambos os lados por 6 para eliminar as frações:
Rearranjando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
Essa relação descreve como depende de para satisfazer a equação dada com a condição inicial .

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