Resolva equaçãoes com variaveis separaveis:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que envolve separar as variáveis. O que temos aqui é uma equação que depende de
e
, e a gente quer encontrar uma relação entre essas duas variáveis que satisfaça a equação dada. Para isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar os termos que envolvem
dos que envolvem
. A equação original é:
Podemos reescrever isso como:
Assim, temos os termos de
de um lado e os termos de
do outro.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar funções potenciais que, ao derivarmos, nos dêem os termos originais. Vamos começar com o lado esquerdo:
Fazendo uma substituição
, então
, ou seja,
. A integral fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar o lado direito:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Juntando as integrais, temos:
Vamos reorganizar essa expressão para isolar
.
Passo 6
Aplicando a condição inicial
, substituímos
e
na equação:
Passo 7
Substituindo
de volta na equação, temos:
Vamos simplificar isso para encontrar uma relação mais clara entre
e
:
Multiplicando ambos os lados por 6 para eliminar as frações:
Rearranjando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por:
Essa relação descreve como
depende de
para satisfazer a equação dada com a condição inicial
.
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