Resolva equaçãoes exatos:
x y' - 2 y = 2 x^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação exata que o enunciado nos deu:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial, mais especificamente uma equação exata. Para resolver isso, vamos precisar entender como reorganizar a equação e encontrar uma função que satisfaça essa igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de uma forma mais familiar. A equação dada é:
Nosso objetivo é isolar para termos uma forma que possamos trabalhar melhor:
Dividindo ambos os lados por x, temos:

Passo 3

Agora, essa equação é uma equação diferencial linear na forma padrão:
Onde:
Para resolver isso, usamos o fator integrante, que é dado por:

Passo 4

Vamos calcular o fator integrante mu(x):
Como estamos lidando com (assumindo para simplificação), podemos escrever:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Isso acontece porque o lado esquerdo agora é a derivada do produto .

Passo 6

Integrando ambos os lados para encontrar :
Isso nos dá:
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para y multiplicando ambos os lados por x^2:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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