Resolva equaçãoes exatos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação exata que o enunciado nos deu:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial, mais especificamente uma equação exata. Para resolver isso, vamos precisar entender como reorganizar a equação e encontrar uma função que satisfaça essa igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de uma forma mais familiar. A equação dada é:
Nosso objetivo é isolar
para termos uma forma que possamos trabalhar melhor:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Passo 3
Agora, essa equação é uma equação diferencial linear na forma padrão:
Onde:
Para resolver isso, usamos o fator integrante, que é dado por:
Passo 4
Vamos calcular o fator integrante
:
Como estamos lidando com
(assumindo para simplificação), podemos escrever:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Isso acontece porque o lado esquerdo agora é a derivada do produto
.
Passo 6
Integrando ambos os lados para encontrar
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, resolvemos para
multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: