Considere a equação diferencial
a) Sabendo que
é uma solução da EDO e que o wronskiano é
determine a) a segunda solução linearmente independente e b)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
Sabemos que uma solução dessa equação é
e que o wronskiano das soluções
e
é
. Precisamos descobrir duas coisas:
a) Uma segunda solução linearmente independente
b) A função
a) Uma segunda solução linearmente independente
b) A função
Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, para encontrar a segunda solução
, vamos usar o método de redução de ordem. Esse método é útil quando já conhecemos uma solução da equação diferencial e queremos achar outra que seja independente dela.
Sabemos que
é uma solução. Vamos supor que
, onde
é uma função que precisamos encontrar.
Passo 3
Calculamos as derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Simplificamos dividindo por
:
Passo 5
Rearranjando os termos:
Simplifica para:
Passo 6
Para simplificar, consideramos que a equação é homogênea e buscamos soluções não triviais. No entanto, como já temos uma solução e queremos outra independente, podemos utilizar o wronskiano.
O wronskiano de duas soluções
e
é dado por:
Sabemos que
.
Passo 7
Substituímos
e
na fórmula do wronskiano:
Simplificando:
Divide ambos os lados por
:
Passo 8
Temos a equação diferencial para
:
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando o fator integrante.
O fator integrante
é:
Passo 9
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso transforma a equação em:
Passo 10
Integrando ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Como
deve ser linearmente independente de
, descartamos a solução que é múltipla de
. Portanto:
Passo 11
Agora, vamos encontrar
. Sabemos que o wronskiano
.
Também sabemos que para uma equação diferencial de segunda ordem:
Vamos calcular
:
Então, substituindo na relação:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
a) A segunda solução linearmente independente é
.
b) A função
é constante e vale
.
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b)
b)
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tem a forma
e mostre que esta suposição converte a EDO em uma equação do segundo grau em
.