Considere a equação diferencial
y''(x) + p(x) y'(x) - 2 y(x) = 0
a) Sabendo que y1(x) = exp(x) é uma solução da EDO e que o wronskiano é W[y1, y2] -3 exp(-x) determine a) a segunda solução linearmente independente e b) p(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
Sabemos que uma solução dessa equação é e que o wronskiano das soluções e é . Precisamos descobrir duas coisas:
a) Uma segunda solução linearmente independente
b) A função
Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, para encontrar a segunda solução , vamos usar o método de redução de ordem. Esse método é útil quando já conhecemos uma solução da equação diferencial e queremos achar outra que seja independente dela.
Sabemos que é uma solução. Vamos supor que , onde é uma função que precisamos encontrar.

Passo 3

Calculamos as derivadas de :

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial:
Simplificamos dividindo por :

Passo 5

Rearranjando os termos:
Simplifica para:

Passo 6

Para simplificar, consideramos que a equação é homogênea e buscamos soluções não triviais. No entanto, como já temos uma solução e queremos outra independente, podemos utilizar o wronskiano.
O wronskiano de duas soluções e é dado por:
Sabemos que .

Passo 7

Substituímos e na fórmula do wronskiano:
Simplificando:
Divide ambos os lados por :

Passo 8

Temos a equação diferencial para :
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando o fator integrante.
O fator integrante é:

Passo 9

Multiplicamos toda a equação por :
Isso transforma a equação em:

Passo 10

Integrando ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por :
Como deve ser linearmente independente de , descartamos a solução que é múltipla de . Portanto:

Passo 11

Agora, vamos encontrar . Sabemos que o wronskiano .
Também sabemos que para uma equação diferencial de segunda ordem:
Vamos calcular :
Então, substituindo na relação:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

a) A segunda solução linearmente independente é .
b) A função é constante e vale .

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