a) Obtenha um fator integrante para a equação diferencial
d/ds X(s) + (2 - s^2)/s X(s) = -1/s, s > 0

Passo 1

Beleza, temos uma equação diferencial que precisa achar um fator integrante. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar o fator que facilita a integração da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos:
Aqui, e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante . Para equações diferenciais lineares de primeira ordem, o fator integrante é dado por:
Isso significa que precisamos calcular a integral de .

Passo 4

Vamos calcular a integral de :
Como estamos procurando o fator integrante, a constante de integração pode ser desconsiderada.

Passo 5

Agora, substituímos a integral encontrada na expressão do fator integrante:
Aqui, usamos propriedades dos logaritmos e das exponenciais para simplificar a expressão.

Resposta

O fator integrante para a equação diferencial dada é:

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