Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada. y' - y/x + csc(y/x) = 0, y(1) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra resolver uma equação diferencial com uma condição inicial. A equação é e a condição inicial é . Vamos precisar usar técnicas de substituição e resolver equações separáveis para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação fazendo uma substituição. Vamos definir . Isso significa que .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a . Usando a regra do produto:
onde é a derivada de em relação a .

Passo 4

Substituímos e na equação original:
Simplificando, temos:

Passo 5

Vamos separar as variáveis para facilitar a resolução. Reorganizamos a equação:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Agora, separamos as variáveis e :
Isso nos deixa prontos para integrar ambos os lados.

Passo 7

Vamos integrar:
A integral de é e a integral de é , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Simplificando a equação:
Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 9

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Então, a equação fica:

Passo 10

Resolvemos para :
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução particular da equação é:

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