Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra resolver uma equação diferencial com uma condição inicial. A equação é
e a condição inicial é
. Vamos precisar usar técnicas de substituição e resolver equações separáveis para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação fazendo uma substituição. Vamos definir
. Isso significa que
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
. Usando a regra do produto:
onde
é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando, temos:
Passo 5
Vamos separar as variáveis para facilitar a resolução. Reorganizamos a equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, separamos as variáveis
e
:
Isso nos deixa prontos para integrar ambos os lados.
Passo 7
Vamos integrar:
A integral de
é
e a integral de
é
, então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Simplificando a equação:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 9
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Então, a equação fica:
Passo 10
Resolvemos para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução particular da equação é:
Exercícios relacionados
Considere a equação diferencial
a) Sabendo que
é uma solução da EDO e que o wronskiano é
determine a) a segunda solução linearmente independente e b)
.
a) Obtenha um fator integrante para a equação diferencial
Equação de Euler. a) Explique o porquê de ser natural supor que a solução da equação diferencial ordinária, de segunda ordem, linear, homogênea e com coeficientes não constantes,
tem a forma
e mostre que esta suposição converte a EDO em uma equação do segundo grau em
.
Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.