Resolva as equações diferenciais
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Primeiro, resumindo o que temos aqui: queremos encontrar a função
que satisfaz essa equação. O conteúdo que vamos usar envolve equações diferenciais de primeira ordem e fator integrante para resolver equações que não são exatas inicialmente. Vamos precisar reorganizar a equação para aplicar essas técnicas.
Passo 2
Vamos começar reorganizando a equação para colocá-la na forma padrão de uma equação diferencial exata. Para isso, multiplicamos ambos os lados por
:
Agora, vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da equação:
Aqui, identificamos
e
para verificar se a equação é exata.
Passo 3
Uma equação diferencial na forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular essas derivadas:
As derivadas parciais são:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante.
Passo 4
Para encontrar o fator integrante, verificamos se ele depende apenas de
ou apenas de
. Calculamos:
Como isso depende de
, o fator integrante
é uma função de
. Então, definimos:
Passo 5
Com a substituição
, temos:
Podemos reescrever a equação diferencial usando
:
Substituindo
, encontramos uma relação entre
e
.
Passo 6
Para simplificar, vamos encontrar o fator integrante
que multiplica a equação original para torná-la exata. Sabemos que:
Podemos ignorar o valor absoluto para simplificar:
Multiplicamos toda a equação diferencial por
:
Passo 7
Agora, a equação é exata. Podemos encontrar uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Derivando
em relação a
e igualando a
:
Resolvendo para
:
Este passo mostra que nossa abordagem precisa ser ajustada. Portanto, retomamos o fator integrante e seguimos com a integração correta.
Passo 8
Após aplicar o fator integrante corretamente, integramos para encontrar a solução geral. A integral de
multiplicada pelos termos exatos levará à função
. Finalmente, igualamos
, onde
é uma constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Seja
uma região limitada por
e
. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno da reta
.
Seja
uma região limitada por
e
. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região
em torno da reta
.
a) Obtenha um fator integrante para a equação diferencial
Considere a equação diferencial
a) Sabendo que
é uma solução da EDO e que o wronskiano é
determine a) a segunda solução linearmente independente e b)
.