Resolva as equações diferenciais
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Primeiro, resumindo o que temos aqui: queremos encontrar a função que satisfaz essa equação. O conteúdo que vamos usar envolve equações diferenciais de primeira ordem e fator integrante para resolver equações que não são exatas inicialmente. Vamos precisar reorganizar a equação para aplicar essas técnicas.

Passo 2

Vamos começar reorganizando a equação para colocá-la na forma padrão de uma equação diferencial exata. Para isso, multiplicamos ambos os lados por :
Agora, vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da equação:
Aqui, identificamos e para verificar se a equação é exata.

Passo 3

Uma equação diferencial na forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Vamos calcular essas derivadas:
As derivadas parciais são:
Como , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante.

Passo 4

Para encontrar o fator integrante, verificamos se ele depende apenas de ou apenas de . Calculamos:
Como isso depende de , o fator integrante é uma função de . Então, definimos:

Passo 5

Com a substituição , temos:
Podemos reescrever a equação diferencial usando :
Substituindo , encontramos uma relação entre e .

Passo 6

Para simplificar, vamos encontrar o fator integrante que multiplica a equação original para torná-la exata. Sabemos que:
Podemos ignorar o valor absoluto para simplificar:
Multiplicamos toda a equação diferencial por :

Passo 7

Agora, a equação é exata. Podemos encontrar uma função tal que:
Integrando em relação a :
Derivando em relação a e igualando a :
Resolvendo para :
Este passo mostra que nossa abordagem precisa ser ajustada. Portanto, retomamos o fator integrante e seguimos com a integração correta.

Passo 8

Após aplicar o fator integrante corretamente, integramos para encontrar a solução geral. A integral de multiplicada pelos termos exatos levará à função . Finalmente, igualamos , onde é uma constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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