Considere a equação dos gases ideais
, ou
, onde
é a pressão,
o volume e
a temperatura absoluta.
é a constante dos gases e
o número de moles, que também pode ser considerado constante.
Usando o critério de Euler verifique se a diferencial
é exata ou inexata.
Usando o critério de Euler verifique se a diferencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe está na área de Termodinâmica, mais especificamente lidando com a equação dos gases ideais. A gente vai usar o critério de Euler para verificar se a diferencial
é uma diferencial exata ou não. Para isso, precisamos entender um pouco sobre diferenciais exatas e como aplicar o critério de Euler nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação dos gases ideais, que é dada por:
Aqui,
é a pressão,
o volume,
a temperatura absoluta,
a constante dos gases e
o número de moles (que é constante).
Podemos rearranjar essa equação para expressar
em função de
e
:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre diferenciais exatas. Uma diferencial da forma
é exata se existir uma função potencial
tal que:
Para que isso aconteça, as seguintes condições devem ser satisfeitas (essas são as chamadas condições de exatidão):
Passo 4
No nosso caso, a diferencial é
. Vamos reescrever essa expressão em termos de
e
.
Sabemos que:
Então, o diferencial
é:
Portanto,
Isso pode ser escrito na forma
, onde:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições de exatidão:
Primeiro, calculamos
:
Porque
não depende de
.
Em seguida, calculamos
:
Passo 6
Agora, comparamos as duas derivadas:
Claramente,
, então as condições de exatidão não são satisfeitas.
Resposta
Portanto, a diferencial
não é exata segundo o critério de Euler.