Considere a equação dos gases ideais P V=n R T, ou P=n R TV, onde P é a pressão, V o volume e T a temperatura absoluta. R é a constante dos gases e n o número de moles, que também pode ser considerado constante.
Usando o critério de Euler verifique se a diferencial d PT é exata ou inexata.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe está na área de Termodinâmica, mais especificamente lidando com a equação dos gases ideais. A gente vai usar o critério de Euler para verificar se a diferencial é uma diferencial exata ou não. Para isso, precisamos entender um pouco sobre diferenciais exatas e como aplicar o critério de Euler nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação dos gases ideais, que é dada por:
P V = n R T
Aqui, P = n R TV é a pressão, o volume, a temperatura absoluta, a constante dos gases e o número de moles (que é constante).
Podemos rearranjar essa equação para expressar em função de e :

Passo 3

Agora, vamos falar sobre diferenciais exatas. Uma diferencial da forma dF = M dV + N dT é exata se existir uma função potencial partial Mpartial T = partial Npartial V tal que:
Para que isso aconteça, as seguintes condições devem ser satisfeitas (essas são as chamadas condições de exatidão):

Passo 4

No nosso caso, a diferencial é P = n R TV . Vamos reescrever essa expressão em termos de dP = n RV dT - n R TV^2 dV e dPT = n RV T dT - n RV^2 dV .
Sabemos que:
M = -n RV^2
Então, o diferencial N = n RV T é:
Portanto,
Isso pode ser escrito na forma , onde:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições de exatidão:
Primeiro, calculamos partial Mpartial T = partialpartial T (-n RV^2) = 0 :
partial Npartial V = partialpartial V (n RV T) = -n RV^2 T
Porque não depende de .
Em seguida, calculamos :

Passo 6

Agora, comparamos as duas derivadas:
partial Mpartial T = 0
partial Npartial V = -n RV^2 T
Claramente, , então as condições de exatidão não são satisfeitas.

Resposta

Portanto, a diferencial não é exata segundo o critério de Euler.

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