Considere a equação dos gases ideais P V=n R T, ou V=n R TP, onde P é a pressão, V o volume e T a temperatura absoluta. R é a constante dos gases e n o número de moles, que também pode ser considerado constante.
Que quantidade física é obtida da integral - integral P d V em uma expansão, ou compressão, reversível de um gás ideal?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a equação dos gases ideais, que é PV = nRT, onde P é a pressão, V o volume, T a temperatura, R a constante dos gases e n o número de moles (que é constante aqui). A questão quer saber qual quantidade física a gente obtém ao calcular a integral integral P , dV durante uma expansão ou compressão reversível de um gás ideal. Para resolver isso, vamos precisar entender o que representam essas variáveis e como elas se relacionam no contexto da termodinâmica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em termodinâmica, o trabalho ( W) realizado por um gás durante uma expansão ou compressão é dado pela integral da pressão em relação ao volume, ou seja, W = integral P , dV. Isso porque o trabalho é basicamente a força aplicada multiplicada pela distância nessa direção, e aqui a “força” é representada pela pressão e a “distância” pelo volume.

Passo 3

Agora, usando a equação dos gases ideais PV = nRT, podemos isolar a pressão P em função do volume V:
P = nRTV
Substituindo essa expressão na integral do trabalho, temos:
W = integral nRTV , dV

Passo 4

Como n, R e T são constantes durante o processo (já que n é constante e estamos considerando uma transformação reversível onde T pode ser mantida constante), podemos tirar esses termos da integral:
W = nRT integral 1V , dV

Passo 5

A integral de 1V em relação a V é o logaritmo natural de V:
integral 1V , dV = ln V + C
Onde C é a constante de integração. Porém, como estamos interessados na mudança de volume, a constante acaba não importando, então:
W = nRT ln ( VfVi )
Onde Vf é o volume final e Vi é o volume inicial.

Resposta

A quantidade física obtida da integral integral P , dV em uma expansão ou compressão reversível de um gás ideal é o trabalho termodinâmico realizado pelo gás durante o processo.

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