Considere a equação dos gases ideais
, ou
, onde
é a pressão,
o volume e
a temperatura absoluta.
é a constante dos gases e
o número de moles, que também pode ser considerado constante.
Que quantidade física é obtida da integral -
em uma expansão, ou compressão, reversível de um gás ideal?
Que quantidade física é obtida da integral -
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a equação dos gases ideais, que é
, onde
é a pressão,
o volume,
a temperatura,
a constante dos gases e
o número de moles (que é constante aqui). A questão quer saber qual quantidade física a gente obtém ao calcular a integral
durante uma expansão ou compressão reversível de um gás ideal. Para resolver isso, vamos precisar entender o que representam essas variáveis e como elas se relacionam no contexto da termodinâmica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em termodinâmica, o trabalho (
) realizado por um gás durante uma expansão ou compressão é dado pela integral da pressão em relação ao volume, ou seja,
. Isso porque o trabalho é basicamente a força aplicada multiplicada pela distância nessa direção, e aqui a “força” é representada pela pressão e a “distância” pelo volume.
Passo 3
Agora, usando a equação dos gases ideais
, podemos isolar a pressão
em função do volume
:
Substituindo essa expressão na integral do trabalho, temos:
Passo 4
Como
,
e
são constantes durante o processo (já que
é constante e estamos considerando uma transformação reversível onde
pode ser mantida constante), podemos tirar esses termos da integral:
Passo 5
A integral de
em relação a
é o logaritmo natural de
:
Onde
é a constante de integração. Porém, como estamos interessados na mudança de volume, a constante acaba não importando, então:
Onde
é o volume final e
é o volume inicial.
Resposta
A quantidade física obtida da integral
em uma expansão ou compressão reversível de um gás ideal é o trabalho termodinâmico realizado pelo gás durante o processo.