Considere a equação geral do plano
.
Encontre uma equação geral do plano
em que
. Qual vetor normal determina essa equação geral do plano?
Encontre uma equação geral do plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação geral de um plano:
. A gente precisa encontrar uma nova equação geral desse plano onde a distância
até a origem seja 4. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica envolvendo planos e distância ponto-plano, além de vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula da distância de um ponto ao plano. A distância
da origem
até o plano
é dada por:
Aqui, os coeficientes
,
,
formam o vetor normal ao plano.
Passo 3
No nosso caso, a equação do plano original é
. Então,
,
,
e
. Vamos calcular a distância atual da origem até esse plano:
Passo 4
Queremos que a distância seja
. Para isso, vamos ajustar o valor de
na equação do plano, mantendo o mesmo vetor normal. A nova equação será
, onde
é o novo valor que queremos encontrar.
Passo 5
Usando a fórmula da distância com
, temos:
Passo 6
Então, a nova equação geral do plano pode ser escrita como:
Resposta
A equação geral do plano com distância
é
. O vetor normal que determina esse plano é
.
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Considere a reta r que passa pelo ponto
e tem a direção do vetor
.
Represente graficamente a reta r.
Represente graficamente a reta r.
Considere a reta r que passa pelo ponto
e tem a direção do vetor
.
Verifique se os pontos e
pertencem à r .
Verifique se os pontos
Considere a equação geral do plano
.
Verifique se os pontos e
pertencem ao plano.
Verifique se os pontos
Considere a equação geral do plano
. Represente graficamente o plano
.