Considere a equação geral do plano .
Encontre uma equação geral do plano em que . Qual vetor normal determina essa equação geral do plano?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação geral de um plano: . A gente precisa encontrar uma nova equação geral desse plano onde a distância até a origem seja 4. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica envolvendo planos e distância ponto-plano, além de vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da distância de um ponto ao plano. A distância da origem até o plano é dada por:
Aqui, os coeficientes , , formam o vetor normal ao plano.

Passo 3

No nosso caso, a equação do plano original é . Então, , , e . Vamos calcular a distância atual da origem até esse plano:

Passo 4

Queremos que a distância seja . Para isso, vamos ajustar o valor de na equação do plano, mantendo o mesmo vetor normal. A nova equação será , onde é o novo valor que queremos encontrar.

Passo 5

Usando a fórmula da distância com , temos:

Passo 6

Então, a nova equação geral do plano pode ser escrita como:

Resposta

A equação geral do plano com distância é . O vetor normal que determina esse plano é .

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Considere a reta r que passa pelo ponto e tem a direção do vetor .
Represente graficamente a reta r.
Considere a reta r que passa pelo ponto e tem a direção do vetor .
Verifique se os pontos e pertencem à r .
Considere a equação geral do plano .
Verifique se os pontos e pertencem ao plano.
Considere a equação geral do plano . Represente graficamente o plano .