Considere a equação geral do plano pi: 22 x+7 y-8 z+3=0.
Encontre uma equação geral do plano pi em que d=4. Qual vetor normal determina essa equação geral do plano?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação geral de um plano: pi: 22x + 7y - 8z + 3 = 0. A gente precisa encontrar uma nova equação geral desse plano onde a distância d até a origem seja 4. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica envolvendo planos e distância ponto-plano, além de vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da distância de um ponto ao plano. A distância d da origem (0,0,0) até o plano Ax + By + Cz + D = 0 é dada por:
d = |D|raizA^2 + B^2 + C^2
Aqui, os coeficientes A, B, C formam o vetor normal ao plano.

Passo 3

No nosso caso, a equação do plano original é 22x + 7y - 8z + 3 = 0. Então, A = 22, B = 7, C = -8 e D = 3. Vamos calcular a distância atual da origem até esse plano:
d = |3|raiz22^2 + 7^2 + (-8)^2 = 3raiz484 + 49 + 64 = 3raiz597 approx 0,123

Passo 4

Queremos que a distância seja d = 4. Para isso, vamos ajustar o valor de D na equação do plano, mantendo o mesmo vetor normal. A nova equação será 22x + 7y - 8z + D' = 0, onde D' é o novo valor que queremos encontrar.

Passo 5

Usando a fórmula da distância com d = 4, temos:
4 = |D'|raiz22^2 + 7^2 + (-8)^2 4 = |D'|raiz597 |D'| = 4 times raiz597 D' = pm 4raiz597

Passo 6

Então, a nova equação geral do plano pode ser escrita como:
22x + 7y - 8z pm 4raiz597 = 0

Resposta

A equação geral do plano com distância d = 4 é 22x + 7y - 8z pm 4raiz597 = 0. O vetor normal que determina esse plano é n = (22, 7, -8).

Exercícios relacionados