Considere a reta r que passa pelo ponto (-5,-3,8) e tem a direção do vetor (2,-9,18).
Verifique se os pontos A=(0,0,0), B=(1,-3,5) e C=(-13 / 3 ;-6 ; 14) pertencem à r .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma reta que passa pelo ponto e tem como direção o vetor . Nosso objetivo é verificar se os pontos , e estão nessa reta .
Para resolver isso, vamos usar as equações paramétricas da reta no espaço. Essas equações nos ajudam a descrever qualquer ponto na reta em função de um parâmetro . Precisamos descobrir se existe um valor de que faz cada um desses pontos satisfazer as equações da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas da reta x = -5 + 2t y = -3 - 9t z = 8 + 18t . Sabemos que a reta passa pelo ponto e tem direção . As equações paramétricas ficam assim:
Aqui, é um parâmetro que varia nos números reais. Se um ponto satisfaz essas três equações para o mesmo valor de , então ele está na reta .

Passo 3

Agora, vamos verificar o ponto 0 = -5 + 2t 0 = -3 - 9t 0 = 8 + 18t . Vamos ver se existe um 0 = -5 + 2t implies t = 52 que faz as três equações valerem simultaneamente.
0 = -3 - 9(52) = -3 - 452 = -512 neq 0
Resolvendo a primeira equação para :
Agora, substituindo na segunda equação:
Como não conseguimos um valor de que satisfaça todas as equações, o ponto não está na reta .

Passo 4

Vamos para o ponto 1 = -5 + 2t -3 = -3 - 9t 5 = 8 + 18t . Novamente, verificamos se existe um 1 = -5 + 2t implies 2t = 6 implies t = 3 que satisfaz as três equações.
-3 = -3 - 9(3) = -3 - 27 = -30 neq -3
Resolvendo a primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Como as equações não são satisfeitas com o mesmo , o ponto não está na reta .

Passo 5

Finalmente, vamos verificar o ponto -133 = -5 + 2t -6 = -3 - 9t 14 = 8 + 18t .
-133 = -5 + 2t implies 2t = -133 + 5 = -133 + 153 = 23 implies t = 13
Resolvendo a primeira equação para -6 = -3 - 9(13) = -3 - 3 = -6 :
14 = 8 + 18(13) = 8 + 6 = 14
Agora, substituindo na segunda equação:
E na terceira equação:
Todas as equações são satisfeitas com , então o ponto está na reta .

Resposta

Dos pontos analisados, somente o ponto pertence à reta .

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