Considere a reta r que passa pelo ponto e tem a direção do vetor .
Verifique se os pontos e pertencem à r .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma reta que passa pelo ponto e tem como direção o vetor . Nosso objetivo é verificar se os pontos , e estão nessa reta .
Para resolver isso, vamos usar as equações paramétricas da reta no espaço. Essas equações nos ajudam a descrever qualquer ponto na reta em função de um parâmetro . Precisamos descobrir se existe um valor de que faz cada um desses pontos satisfazer as equações da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas da reta . Sabemos que a reta passa pelo ponto e tem direção . As equações paramétricas ficam assim:
Aqui, é um parâmetro que varia nos números reais. Se um ponto satisfaz essas três equações para o mesmo valor de , então ele está na reta .
Passo 3
Agora, vamos verificar o ponto 0 = -5 + 2t 0 = -3 - 9t 0 = 8 + 18t . Vamos ver se existe um 0 = -5 + 2t implies t = 52 que faz as três equações valerem simultaneamente.
0 = -3 - 9(52) = -3 - 452 = -512 neq 0
Resolvendo a primeira equação para :
Agora, substituindo na segunda equação:
Como não conseguimos um valor de que satisfaça todas as equações, o ponto não está na reta .
Passo 4
Vamos para o ponto 1 = -5 + 2t -3 = -3 - 9t 5 = 8 + 18t . Novamente, verificamos se existe um 1 = -5 + 2t implies 2t = 6 implies t = 3 que satisfaz as três equações.
-3 = -3 - 9(3) = -3 - 27 = -30 neq -3
Resolvendo a primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Como as equações não são satisfeitas com o mesmo , o ponto não está na reta .