Determine sabendo que e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a função vetorial sabendo que a sua derivada em relação ao tempo é , e que no instante , a posição é .
Vou te explicar o que isso significa: representa a velocidade do vetor . Então, basicamente, a gente tem a velocidade e precisa encontrar a posição inicial e como a posição muda com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a derivada para encontrar a função . A integração nos dá a posição a partir da velocidade.
A derivada da posição é dada por:
Para encontrar , integramos cada componente em relação a :

Passo 3

Vamos integrar cada componente separadamente:
  1. Componente :
  1. Componente :
    Como não temos uma componente na derivada, sua integral ser�� apenas uma constante:
  1. Componente :
Portanto, a função geral é:

Passo 4

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar as constantes , e .
Substituindo na expressão de :
Isso nos dá um sistema de equações:
  1. (componente )
  2. (componente )
  3. (componente )

Passo 5

Agora que temos as constantes, substituímos de volta na expressão de :
Simplificando:

Resposta

A função vetorial procurada é:

Exercícios relacionados

Sejam e , calcule .
Desenhe a imagem de .
Considere a equação de Hermite:
é
(a) Mostre que a solução geral da equação (2) é , em que e .
(d) Verifique que: