Determine
sabendo que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a função vetorial
sabendo que a sua derivada em relação ao tempo
é
, e que no instante
, a posição é
.
Vou te explicar o que isso significa:
representa a velocidade do vetor
. Então, basicamente, a gente tem a velocidade e precisa encontrar a posição inicial e como a posição muda com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a derivada
para encontrar a função
. A integração nos dá a posição a partir da velocidade.
A derivada da posição é dada por:
Para encontrar
, integramos cada componente em relação a
:
Passo 3
Vamos integrar cada componente separadamente:
- Componente
:
- Componente
:
Como não temos uma componentena derivada, sua integral ser�� apenas uma constante:
- Componente
:
Portanto, a função geral é:
Passo 4
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar as constantes
,
e
.
Substituindo
na expressão de
:
Isso nos dá um sistema de equações:
-
(componente ) -
(componente ) -
(componente )
Passo 5
Agora que temos as constantes, substituímos de volta na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
A função vetorial procurada é:
Exercícios relacionados
Sejam
e
, calcule
.
Desenhe a imagem de
.
(a) Mostre que a solução geral da equação (2) é
, em que
e
.
(d) Verifique que: