Considere a equação homogênea
Resolva o PVI e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial homogênea da segunda ordem:
E nos dá condições iniciais: e . Vamos usar o método de equações de Euler (ou equações Cauchy-Euler) para resolver isso. Isso significa que vamos assumir soluções da forma e encontrar os valores de que satisfazem a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução tem a forma . Com isso, precisamos encontrar as derivadas:

Passo 3

Substituímos , e na equação original:
Simplificando os termos:
Então, a equação fica:

Passo 4

Agora, fatoramos :
Como não é zero, resolvemos a equação dentro dos colchetes:

Passo 5

Resolvemos essa equação quadrática para usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e :
Então, temos duas soluções:

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções encontradas:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 7

Aplicamos a primeira condição inicial :

Passo 8

Calculamos a derivada da solução geral:
Aplicamos a segunda condição inicial :

Passo 9

Agora temos um sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução do problema é:

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Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
.
Considere as funções e .
Mostre que e são LI no intervalo .
Determine, usando o método da redução de ordem, uma outra solução da equação dada, que seja LI com a primeira.
.