Considere a equação homogênea
2 t^2 y''(t) + 3 t y'(t) - y(t) = 0
Resolva o PVI 2 t^2 y''(t) + 3 t y'(t) - y(t) = 0, y(1) = 2 e y'(1) = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial homogênea da segunda ordem:
E nos dá condições iniciais: e . Vamos usar o método de equações de Euler (ou equações Cauchy-Euler) para resolver isso. Isso significa que vamos assumir soluções da forma e encontrar os valores de que satisfazem a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução tem a forma . Com isso, precisamos encontrar as derivadas:

Passo 3

Substituímos , e na equação original:
Simplificando os termos:
Então, a equação fica:

Passo 4

Agora, fatoramos :
Como não é zero, resolvemos a equação dentro dos colchetes:

Passo 5

Resolvemos essa equação quadrática para usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e :
Então, temos duas soluções:

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções encontradas:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 7

Aplicamos a primeira condição inicial :

Passo 8

Calculamos a derivada da solução geral:
Aplicamos a segunda condição inicial :

Passo 9

Agora temos um sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução do problema é:

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