Considere a equação homogênea
Resolva o PVI
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial homogênea da segunda ordem:
E nos dá condições iniciais:
e
. Vamos usar o método de equações de Euler (ou equações Cauchy-Euler) para resolver isso. Isso significa que vamos assumir soluções da forma
e encontrar os valores de
que satisfazem a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução tem a forma
. Com isso, precisamos encontrar as derivadas:
Passo 3
Substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Então, a equação fica:
Passo 4
Agora, fatoramos
:
Como
não é zero, resolvemos a equação dentro dos colchetes:
Passo 5
Resolvemos essa equação quadrática para
usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
:
Então, temos duas soluções:
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções encontradas:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 7
Aplicamos a primeira condição inicial
:
Passo 8
Calculamos a derivada da solução geral:
Aplicamos a segunda condição inicial
:
Passo 9
Agora temos um sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
A solução do problema é:
Exercícios relacionados
Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
.
Considere as funções
e
.
Mostre que e
são LI no intervalo
.
Mostre que
Determine, usando o método da redução de ordem, uma outra solução da equação dada, que seja LI com a primeira.
.