Determine, usando o método da redução de ordem, uma outra solução da equação dada, que seja LI com a primeira.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
E já sabemos uma solução dessa equação, que é
. Nosso objetivo aqui é encontrar outra solução
que seja linearmente independente da primeira, usando o método da redução de ordem. Isso significa que vamos usar a solução que já temos para encontrar a nova.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é linearmente independente (LI). Duas soluções são LI se nenhuma delas pode ser escrita como múltiplo da outra. Isso é importante porque, em uma equação diferencial de segunda ordem, precisamos de duas soluções LI para formar a solução geral.
Passo 3
Agora, o método da redução de ordem é justamente uma técnica para encontrar uma segunda solução quando a primeira já é conhecida. A ideia é assumir que a segunda solução
pode ser escrita como:
onde
é uma função que precisamos descobrir.
Passo 4
Vamos substituir essa forma de
na equação diferencial original. Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de
:
Substituindo essas expressões na equação original, teremos uma equação envolvendo
,
, e
.
Passo 5
Depois de substituir, o objetivo é simplificar a equação para encontrar uma equação diferencial para
. Muitas vezes, conseguimos reduzir a equação para uma de primeira ordem, que é mais fácil de resolver. Isso envolve cancelar termos e isolar
.
Passo 6
Após resolver a equação para
, podemos integrar para encontrar
e, consequentemente, determinar
. Essa será a segunda solução que buscamos, linearmente independente de
.
Resposta
A segunda solução linearmente independente é: