Determine, usando o método da redução de ordem, uma outra solução da equação dada, que seja LI com a primeira.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
E já sabemos uma solução dessa equação, que é . Nosso objetivo aqui é encontrar outra solução que seja linearmente independente da primeira, usando o método da redução de ordem. Isso significa que vamos usar a solução que já temos para encontrar a nova.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é linearmente independente (LI). Duas soluções são LI se nenhuma delas pode ser escrita como múltiplo da outra. Isso é importante porque, em uma equação diferencial de segunda ordem, precisamos de duas soluções LI para formar a solução geral.

Passo 3

Agora, o método da redução de ordem é justamente uma técnica para encontrar uma segunda solução quando a primeira já é conhecida. A ideia é assumir que a segunda solução pode ser escrita como:
onde é uma função que precisamos descobrir.

Passo 4

Vamos substituir essa forma de na equação diferencial original. Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de :
Substituindo essas expressões na equação original, teremos uma equação envolvendo , , e .

Passo 5

Depois de substituir, o objetivo é simplificar a equação para encontrar uma equação diferencial para . Muitas vezes, conseguimos reduzir a equação para uma de primeira ordem, que é mais fácil de resolver. Isso envolve cancelar termos e isolar .

Passo 6

Após resolver a equação para , podemos integrar para encontrar e, consequentemente, determinar . Essa será a segunda solução que buscamos, linearmente independente de .

Resposta

A segunda solução linearmente independente é:

Exercícios relacionados

Considere as funções e .
Mostre que e são LI no intervalo .
Considere a equação homogênea
Resolva o PVI e .
Sabendo-se que e são soluções de uma equação diferencial ordinária linear e não homogênea de ordem, determinar a solução geral desta equação, onde:
e ;
Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
.