Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. O que a gente vai precisar fazer é encontrar uma solução particular dessa equação usando o método de coeficientes a determinar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte não homogênea da equação, que é o
. Isso significa que a solução particular vai ter a mesma forma que essa função. Então, vamos supor que a solução particular
seja da forma:
Onde
e
são constantes que a gente precisa descobrir.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação original:
Expandindo os termos:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 5
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes dos termos de
e
devem ser iguais nos dois lados da equação. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Agora, substituindo
na primeira equação:
Passo 7
Com os valores de
e
encontrados, a solução particular é:
Resposta
Uma solução particular da equação é:
Exercícios relacionados
Considere as funções
e
.
Mostre que e
nunca podem ser soluções de
no intervalo
, se
e
são contínuas neste intervalo.
Mostre que
Considere as funções
e
.
Mostre que e
são LD no intervalo
.
Mostre que
Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
Considere a equação homogênea
Resolva o PVI
e
.