Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. O que a gente vai precisar fazer é encontrar uma solução particular dessa equação usando o método de coeficientes a determinar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte não homogênea da equação, que é o . Isso significa que a solução particular vai ter a mesma forma que essa função. Então, vamos supor que a solução particular seja da forma:
Onde e são constantes que a gente precisa descobrir.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :

Passo 4

Vamos substituir , e na equação original:
Expandindo os termos:
Juntando os termos semelhantes:

Passo 5

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes dos termos de e devem ser iguais nos dois lados da equação. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:



Agora, substituindo na primeira equação:

Passo 7

Com os valores de e encontrados, a solução particular é:

Resposta

Uma solução particular da equação é:

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Considere as funções e .
Mostre que e são LD no intervalo .
Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
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Resolva o PVI e .