Considere as funções
e
.
Mostre que
e
são LI no intervalo
.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que as funções
e
são linearmente independentes (LI) no intervalo de
. O conteúdo que vamos usar aqui é o de independência linear de funções, que basicamente verifica se nenhuma das funções pode ser escrita como múltiplo da outra em todo o intervalo. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam e aplicar o conceito de combinação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são funções linearmente independentes. Duas funções
e
são LI em um intervalo se a única solução para a equação
para todo
no intervalo é
. Isso significa que nenhuma das funções pode ser obtida multiplicando a outra por uma constante diferente de zero.
Passo 3
Vamos montar a combinação linear
e ver o que isso nos diz. Substituindo
e
:
Agora, vamos analisar essa equação em duas partes: quando
e quando
, porque o valor absoluto de
muda dependendo do sinal de
.
Passo 4
Para
:
Quando
é maior ou igual a zero,
. Então, a equação fica:
Como
não é zero (a menos que
, mas queremos que a igualdade valha para todo
), temos que:
Passo 5
Para
:
Quando
é menor que zero,
. Então, a equação fica:
Novamente, como
não é zero, temos que:
Passo 6
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Somando as duas equações:
Substituindo
na equação (1):
Passo 7
Encontramos que a única solução para
e
é
. Isso significa que a única combinação linear que iguala a zero para todas as
no intervalo
é quando ambos os coeficientes são zero.
Resposta
As funções
e
são linearmente independentes no intervalo
.
Exercícios relacionados
Considere a equação homogênea
Resolva o PVI
e
.
Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
Determine, usando o método da redução de ordem, uma outra solução da equação dada, que seja LI com a primeira.
.
Sabendo-se que
e
são soluções de uma equação diferencial ordinária linear e não homogênea de
ordem, determinar a solução geral desta equação, onde:
e
;