Considere as funções e .
Mostre que e são LI no intervalo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que as funções e são linearmente independentes (LI) no intervalo de . O conteúdo que vamos usar aqui é o de independência linear de funções, que basicamente verifica se nenhuma das funções pode ser escrita como múltiplo da outra em todo o intervalo. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam e aplicar o conceito de combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são funções linearmente independentes. Duas funções e são LI em um intervalo se a única solução para a equação para todo no intervalo é . Isso significa que nenhuma das funções pode ser obtida multiplicando a outra por uma constante diferente de zero.

Passo 3

Vamos montar a combinação linear e ver o que isso nos diz. Substituindo e :
Agora, vamos analisar essa equação em duas partes: quando e quando , porque o valor absoluto de muda dependendo do sinal de .

Passo 4

Para :
Quando é maior ou igual a zero, . Então, a equação fica:
Como não é zero (a menos que , mas queremos que a igualdade valha para todo ), temos que:

Passo 5

Para :
Quando é menor que zero, . Então, a equação fica:
Novamente, como não é zero, temos que:

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Somando as duas equações:
Substituindo na equação (1):

Passo 7

Encontramos que a única solução para e é . Isso significa que a única combinação linear que iguala a zero para todas as no intervalo é quando ambos os coeficientes são zero.

Resposta

As funções e são linearmente independentes no intervalo .

Exercícios relacionados

Considere a equação homogênea
Resolva o PVI e .
Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
Determine, usando o método da redução de ordem, uma outra solução da equação dada, que seja LI com a primeira.
.
Sabendo-se que e são soluções de uma equação diferencial ordinária linear e não homogênea de ordem, determinar a solução geral desta equação, onde:
e ;