Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial . O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver, vamos precisar usar o método das coeficientes a determinar, que nos ajudará a encontrar uma solução particular para essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
. A equação característica é
, que tem raízes complexas
. Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, para encontrar uma solução particular
da equação completa , usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o lado direito é , vamos supor uma solução particular da forma:
Isso porque
e já fazem parte da solução homogênea, então multiplicamos por
para evitar duplicação.
Passo 4
Vamos derivar
para encontrar
e
:
Essa derivada será um pouco longa, mas essencial para substituir na equação diferencial original.
Passo 5
Substituímos
e
na equação e coletamos termos semelhantes. Após simplificar, igualamos os coeficientes dos termos de
,
, e aos do lado direito da equação.
Passo 6
Resolvemos o sistema de equações resultante para encontrar os valores de
,
,
e
. Após encontrar esses valores, substituímos de volta na expressão de
para obter a solução particular.
Resposta
A solução particular da equação é:
Exercícios relacionados
Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
.
Considere as funções
e
.
Mostre que e
nunca podem ser soluções de
no intervalo
, se
e
são contínuas neste intervalo.
Mostre que
Considere a equação homogênea
Resolva o PVI
e
.
Considere as funções
e
.
Mostre que e
são LI no intervalo
.
Mostre que