Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver, vamos precisar usar o método das coeficientes a determinar, que nos ajudará a encontrar uma solução particular para essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada: . A equação característica é , que tem raízes complexas . Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, para encontrar uma solução particular da equação completa , usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o lado direito é , vamos supor uma solução particular da forma:
Isso porque e já fazem parte da solução homogênea, então multiplicamos por para evitar duplicação.

Passo 4

Vamos derivar para encontrar e :
Essa derivada será um pouco longa, mas essencial para substituir na equação diferencial original.

Passo 5

Substituímos e na equação e coletamos termos semelhantes. Após simplificar, igualamos os coeficientes dos termos de , , e aos do lado direito da equação.

Passo 6

Resolvemos o sistema de equações resultante para encontrar os valores de , , e . Após encontrar esses valores, substituímos de volta na expressão de para obter a solução particular.

Resposta

A solução particular da equação é:

Exercícios relacionados

Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
.
Considere as funções e .
Mostre que e nunca podem ser soluções de no intervalo , se e são contínuas neste intervalo.
Considere a equação homogênea
Resolva o PVI e .
Considere as funções e .
Mostre que e são LI no intervalo .