Considere a equação homogênea , com e funções contínuas num intervalo . Sejam e duas soluções desta equação no intervalo . Seja o wronskiano de e no intervalo . Mostre que: satisfaz a equação diferencial no intervalo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
onde e são funções contínuas. Temos duas soluções dessa equação, chamadas e . O nosso objetivo é mostrar que o wronskiano dessas duas soluções, que a gente denota por , satisfaz a equação diferencial
para todo no intervalo . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é wronskiano e como derivar ele.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o wronskiano. O wronskiano de duas funções e é uma maneira de verificar se elas são soluções linearmente independentes. Ele é definido por:
Esse determinante nos dá uma função que vamos analisar.
Passo 3
Agora, vamos derivar o wronskiano em relação a . Usando a regra do determinante, temos:
Simplificando, os termos se cancelam:
Passo 4
Sabemos que e são soluções da equação diferencial original. Isso significa que elas satisfazem:
Podemos resolver essas equações para e :
Passo 5
Vamos substituir e na expressão do :
Distribuindo os termos:
Os termos com também se cancelam:
Fatorando :
Observa que , então:
Passo 6
Finalmente, temos a relação:
Podemos reescrever isso como:
Que é exatamente a equação diferencial que queríamos mostrar!
Resposta
O wronskiano satisfaz a equação diferencial no intervalo .