Considere a equação homogênea y'' + p(t) y' + q(t) y = 0, com p(t) e q(t) funções contínuas num intervalo I. Sejam y1(t) e y2(t) duas soluções desta equação no intervalo I. Seja W[y1, y2](t) o wronskiano de y1(t) e y2(t) no intervalo I. Mostre que:
W[y1, y2](t) satisfaz a equação diferencial y' + p(t) y = 0 no intervalo I.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
onde e são funções contínuas. Temos duas soluções dessa equação, chamadas e . O nosso objetivo é mostrar que o wronskiano dessas duas soluções, que a gente denota por , satisfaz a equação diferencial
para todo no intervalo . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é wronskiano e como derivar ele.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o wronskiano. O wronskiano de duas funções e é uma maneira de verificar se elas são soluções linearmente independentes. Ele é definido por:
Esse determinante nos dá uma função que vamos analisar.

Passo 3

Agora, vamos derivar o wronskiano em relação a . Usando a regra do determinante, temos:
Simplificando, os termos se cancelam:

Passo 4

Sabemos que e são soluções da equação diferencial original. Isso significa que elas satisfazem:
Podemos resolver essas equações para e :

Passo 5

Vamos substituir e na expressão do :
Distribuindo os termos:
Os termos com também se cancelam:
Fatorando :
Observa que , então:

Passo 6

Finalmente, temos a relação:
Podemos reescrever isso como:
Que é exatamente a equação diferencial que queríamos mostrar!

Resposta

O wronskiano satisfaz a equação diferencial no intervalo .

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