Expresse a solução do problema do valor inicial
em termos de integrais da forma
.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é:
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares, encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular. Além disso, vamos aplicar as condições iniciais para achar as constantes. No final, vamos expressar tudo em termos de integrais do tipo
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, sem o termo
. A equação homogênea fica:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica associada:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar depois usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Para isso, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, também conhecido como método da variação dos parâmetros. Esse método nos permite encontrar uma solução particular (
) baseada nas soluções da equação homogênea.
A fórmula para
é:
Onde
e
são funções que vamos determinar.
Passo 4
Para encontrar
e
, usamos as seguintes fórmulas derivadas do método da variação dos parâmetros:
Onde
é o Wronskiano das soluções da equação homogênea:
Então,
Agora, vamos integrar para encontrar
e
:
Essas integrais não têm solução em termos de funções elementares, então vamos deixá-las como integrais definidas de 1 a
.
Passo 5
Substituindo
e
na expressão de
, temos:
Podemos simplificar isso combinando os termos:
Passo 6
Agora, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral da equação diferencial:
Passo 7
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
. Temos:
Substituindo
na solução geral e na sua derivada, resolvemos o sistema de equações para
e
. Após os cálculos, encontramos que:
Passo 8
Finalmente, substituímos os valores de
e
na solução geral:
Resposta
A solução do problema é: