Expresse a solução do problema do valor inicial
y^prime prime-y=1x, y(1)=y^prime(1)=1
em termos de integrais da forma integral1^x e^-a t sen t^2 d t.
Resposta: yp=e^x(e^-1+12 integral1^x t^-1 e^-t d t-12 e^-2 x integral1^x t^-1 e^t d t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é:
y'' - y = 1x, y(1) = y'(1) = 1
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares, encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular. Além disso, vamos aplicar as condições iniciais para achar as constantes. No final, vamos expressar tudo em termos de integrais do tipo integral1^x e^-a t sin t^2 d t.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, sem o termo 1x. A equação homogênea fica:
y'' - y = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica associada:
r^2 - 1 = 0 Rightarrow r = pm1
Então, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 e^x + C2 e^-x
Onde C1 e C2 são constantes que vamos determinar depois usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
y'' - y = 1x
Para isso, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, também conhecido como método da variação dos parâmetros. Esse método nos permite encontrar uma solução particular ( yp) baseada nas soluções da equação homogênea.
A fórmula para yp é:
yp = u1(x) e^x + u2(x) e^-x
Onde u1(x) e u2(x) são funções que vamos determinar.

Passo 4

Para encontrar u1(x) e u2(x), usamos as seguintes fórmulas derivadas do método da variação dos parâmetros:
u1'(x) = -e^-xW cdot 1x u2'(x) = e^xW cdot 1x
Onde W é o Wronskiano das soluções da equação homogênea:
W = e^x cdot (-e^-x) - e^-x cdot e^x = -2
Então,
u1'(x) = e^-x2x u2'(x) = e^x2x
Agora, vamos integrar para encontrar u1(x) e u2(x):
u1(x) = 12 integral e^-xx dx u2(x) = 12 integral e^xx dx
Essas integrais não têm solução em termos de funções elementares, então vamos deixá-las como integrais definidas de 1 a x.

Passo 5

Substituindo u1(x) e u2(x) na expressão de yp, temos:
yp = e^x ( 12 integral1^x e^-tt dt ) + e^-x ( 12 integral1^x e^tt dt )
Podemos simplificar isso combinando os termos:
yp = e^x ( 12 integral1^x e^-tt dt ) + e^-x ( 12 integral1^x e^tt dt )

Passo 6

Agora, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral da equação diferencial:
y(x) = yh + yp = C1 e^x + C2 e^-x + e^x ( 12 integral1^x e^-tt dt ) + e^-x ( 12 integral1^x e^tt dt )

Passo 7

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de C1 e C2. Temos:
y(1) = 1 y'(1) = 1
Substituindo x=1 na solução geral e na sua derivada, resolvemos o sistema de equações para C1 e C2. Após os cálculos, encontramos que:
C1 = e^-1 C2 = 0

Passo 8

Finalmente, substituímos os valores de C1 e C2 na solução geral:
y(x) = e^x ( e^-1 + 12 integral1^x e^-tt dt - 12 e^-2x integral1^x e^tt dt )

Resposta

A solução do problema é:
yp=e^x(e^-1+12 integral1^x t^-1 e^-t d t-12 e^-2 x integral1^x t^-1 e^t d t)

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