Mostre que
não pode ser solução de uma equação diferencial
, com
e
contínuas num intervalo contendo
.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: queremos mostrar que a função
não pode ser solução de uma equação diferencial da forma
, onde
e
são funções contínuas em um intervalo que contém
. Para resolver isso, precisamos calcular as derivadas de
, substituir na equação diferencial e verificar se as funções
e
podem ser contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
:
Agora, a segunda derivada:
Passo 3
Substituímos
,
e
na equação diferencial dada:
Substituindo:
Passo 4
Organizamos os termos por funções trigonométricas:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
no intervalo considerado, os coeficientes de
e
devem ser zero separadamente:
Passo 5
Resolvendo para
e
:
Observamos que
apresenta uma descontinuidade em
, já que o limite quando
se aproxima de zero não existe (tende ao infinito). Portanto,
não é contínua em um intervalo que contenha
.
Resposta
Concluímos que
não pode ser solução da equação diferencial dada com
e
contínuas no intervalo considerado.