Mostre que y(t) = sen(t^2) não pode ser solução de uma equação diferencial y'' + p(t) y' + q(t) y = 0, com p(t) e q(t) contínuas num intervalo contendo t = 0.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: queremos mostrar que a função não pode ser solução de uma equação diferencial da forma , onde e são funções contínuas em um intervalo que contém . Para resolver isso, precisamos calcular as derivadas de , substituir na equação diferencial e verificar se as funções e podem ser contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de :
Agora, a segunda derivada:

Passo 3

Substituímos , e na equação diferencial dada:
Substituindo:

Passo 4

Organizamos os termos por funções trigonométricas:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo no intervalo considerado, os coeficientes de e devem ser zero separadamente:

Passo 5

Resolvendo para e :
Observamos que apresenta uma descontinuidade em , já que o limite quando se aproxima de zero não existe (tende ao infinito). Portanto, não é contínua em um intervalo que contenha .

Resposta

Concluímos que não pode ser solução da equação diferencial dada com e contínuas no intervalo considerado.

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