Encontre soluções particulares envolvendo integrais indefinidas não-elementares:
y^(3)-y^prime prime=ln x Resposta: yp=34 x^2+(12 x^2-2 x) ln x+e^x integral e^-x ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a seguinte equação diferencial:
y''' - y'' = ln x
Essa é uma equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes. Nosso objetivo aqui é encontrar uma solução particular para essa equação. Para isso, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais não homogêneas, como o Método de Variação dos Parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem o termo y''' - y'' = 0 :
r^3 - r^2 = 0
Para resolver isso, encontramos a equação característica:
r^2(r - 1) = 0
Fatorando, temos:
yc = C1 + C2 x + C3 e^x
As raízes são (com multiplicidade 2) e . Portanto, a solução complementar (a parte geral da solução homogênea) é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a solução particular yp = A x^2 + B x^2 ln x + C x ln x para a equação não homogênea yp &= A x^2 + B x^2 ln x + C x ln x yp' &= 2A x + 2B x ln x + B x + C ln x + C yp'' &= 2A + 2B ln x + 3B + C 1x yp''' &= 2Bx - C 1x^2 . Como o termo do lado direito é y''' - y'' = 2Bx - C 1x^2 - (2A + 2B ln x + 3B + C 1x) = ln x , vamos supor uma solução particular da forma:
-2A - 3B + (2B - Cx) - C 1x^2 - 2B ln x = ln x
Onde -2A - 3B = 0 2B - C = 0 -C = 0 -2B = 1 , yp = 34 x^2 - 12 x^2 ln x - x ln x e são constantes que precisamos determinar.
Vamos derivar até a terceira ordem:
Substituindo na equação original:
Igualando os termos semelhantes, resolvemos para , e :
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada termo devem ser iguais:
Resolvendo o sistema:
  1. De , temos .
  2. De , com , temos .
  3. De , com , temos .
Portanto, a solução particular é:

Passo 4

No entanto, notamos que a solução particular envolveu termos com yp = 34 x^2 + (12 x^2 - 2x) ln x + e^x integral e^-x ln x , dx que já estão presentes na solução complementar . Para evitar a redundância, precisamos adicionar um termo adicional multiplicado por :
Aqui, o termo representa a parte não-elementar da solução que envolve a integral da função logarítmica.

Resposta

A solução particular para a equação diferencial dada é:
yp = 34 x^2 + (12 x^2 - 2 x) ln x + e^x integral e^-x ln x , dx

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