Considere a equação homogênea , com e funções contínuas num intervalo . Sejam e duas soluções desta equação no intervalo . Seja o wronskiano de e no intervalo . Mostre que:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial homogênea da forma , onde e são funções contínuas em um intervalo . Duas soluções dessa equação são e . O que precisamos mostrar é que a derivada do Wronskiano é igual a . Para isso, vamos utilizar conceitos de derivação e propriedades de equações diferenciais lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. O Wronskiano de duas funções e é definido como:
O Wronskiano nos ajuda a verificar se as soluções são linearmente independentes.
Passo 3
Agora, vamos derivar o Wronskiano em relação a . Para isso, aplicamos a regra da derivada para a diferença de produtos: