Considere a equação homogênea y'' + p(t) y' + q(t) y = 0, com p(t) e q(t) funções contínuas num intervalo I. Sejam y1(t) e y2(t) duas soluções desta equação no intervalo I. Seja W[y1, y2](t) o wronskiano de y1(t) e y2(t) no intervalo I. Mostre que:
W[y1, y2]'(t) = y1(t) y2''(t) - y2(t) y1''(t)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial homogênea da forma , onde e são funções contínuas em um intervalo . Duas soluções dessa equação são e . O que precisamos mostrar é que a derivada do Wronskiano é igual a . Para isso, vamos utilizar conceitos de derivação e propriedades de equações diferenciais lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. O Wronskiano de duas funções e é definido como:
O Wronskiano nos ajuda a verificar se as soluções são linearmente independentes.

Passo 3

Agora, vamos derivar o Wronskiano em relação a . Para isso, aplicamos a regra da derivada para a diferença de produtos:
Isso nos dá:

Passo 4

Observamos que os termos e se cancelam:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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