Mostre que se
e
são soluções fundamentais da equação
num intervalo I, então
Sugestão: substitua
e
na equação diferencial e resolva o sistema correspondente para
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que, se
e
são soluções fundamentais da equação diferencial
num intervalo
, então podemos expressar
e
em termos de
,
e o Wronskiano deles
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais de segunda ordem, soluções fundamentais e Wronskiano. O plano é substituir as soluções na equação diferencial e resolver o sistema resultante para encontrar
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma solução fundamental. Duas soluções
e
são fundamentais se elas são linearmente independentes e formam uma base para o espaço das soluções da equação diferencial. Isso significa que qualquer solução geral pode ser escrita como uma combinação linear dessas duas soluções.
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação diferencial dada:
Para
:
Para
:
Passo 4
Temos agora um sistema de duas equações:
Nosso objetivo é resolver esse sistema para
e
.
Passo 5
Podemos reescrever o sistema da seguinte forma:
Isso é um sistema linear de duas equações com duas incógnitas
e
.
Passo 6
Para resolver o sistema, vamos usar o método de Cramer, que envolve determinantes. Primeiro, escrevemos o sistema na forma de matriz:
[
]
O determinante da matriz dos coeficientes é o Wronskiano
:
Passo 7
Aplicando a regra de Cramer para encontrar
e
:
Mas note que
tem um sinal invertido, então:
Resposta
Portanto, mostramos que:
para todo
no intervalo
.