Mostre que se y1(t) e y2(t) são soluções fundamentais da equação y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=0 num intervalo I, então
p(t)=y2(t) y1^prime prime(t)-y1(t) y2^prime prime(t)W[y1, y2](t) e q(t)=-y2^prime(t) y1^prime prime(t)-y1^prime(t) y2^prime prime(t)W[y1, y2](t), para t in I
Sugestão: substitua y1(t) e y2(t) na equação diferencial e resolva o sistema correspondente para p(t) e q(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que, se e são soluções fundamentais da equação diferencial num intervalo , então podemos expressar e em termos de , e o Wronskiano deles . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais de segunda ordem, soluções fundamentais e Wronskiano. O plano é substituir as soluções na equação diferencial e resolver o sistema resultante para encontrar e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma solução fundamental. Duas soluções e são fundamentais se elas são linearmente independentes e formam uma base para o espaço das soluções da equação diferencial. Isso significa que qualquer solução geral pode ser escrita como uma combinação linear dessas duas soluções.

Passo 3

Agora, vamos substituir y'' + p(t) y' + q(t) y = 0 e y1'' + p(t) y1' + q(t) y1 = 0 (1) na equação diferencial dada:
y2'' + p(t) y2' + q(t) y2 = 0 (2)
Para :
Para :

Passo 4

Temos agora um sistema de duas equações:
y1'' + p(t) y1' + q(t) y1 = 0 y2'' + p(t) y2' + q(t) y2 = 0
Nosso objetivo é resolver esse sistema para e .

Passo 5

Podemos reescrever o sistema da seguinte forma:
p(t) y1' + q(t) y1 = -y1'' p(t) y2' + q(t) y2 = -y2''
Isso é um sistema linear de duas equações com duas incógnitas e .

Passo 6

Para resolver o sistema, vamos usar o método de Cramer, que envolve determinantes. Primeiro, escrevemos o sistema na forma de matriz:

[
y1' & y1 y2' & y2 p(t) q(t) = - y1'' - y2''
W[y1, y2](t) = y1(t) y2'(t) - y2(t) y1'(t)


]
O determinante da matriz dos coeficientes é o Wronskiano :

Passo 7

Aplicando a regra de Cramer para encontrar p(t) = - y1'' & y1 - y2'' & y2 W[y1, y2](t) = y2 y1'' - y1 y2''W[y1, y2](t) e q(t) = y1' & - y1'' y2' & - y2'' W[y1, y2](t) = y2' y1'' - y1' y2''W[y1, y2](t) :
Mas note que q(t) = -y2' y1'' - y1' y2''W[y1, y2](t) tem um sinal invertido, então:

Resposta

Portanto, mostramos que:
p(t) = y2(t) y1''(t) - y1(t) y2''(t)W[y1, y2](t) e q(t) = -y2'(t) y1''(t) - y1'(t) y2''(t)W[y1, y2](t)
para todo no intervalo .

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