Se a equação indicial (2.12) tem somente uma raíz real, mostre que y1(x) = x^((1-b)/2) e y2(x) = x^((1-b)/2) ln(x) são soluções fundamentais de (2.11) e portanto a solução geral de (2.11), para x > 0, é
y(x) = c1 * x^((1-b)/2) + c2 * x^((1-b)/2) * ln(x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial (referida como (2.11)) e uma equação indicial associada a ela (referida como (2.12)). A equação indicial tem somente uma raiz real. Nosso objetivo é mostrar que as funções e são soluções fundamentais da equação (2.11), e assim, escrever a solução geral para .
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  1. Equações diferenciais de segunda ordem: Essas são equações que envolvem a segunda derivada de uma função desconhecida.
  2. Soluções fundamentais: São duas soluções linearmente independentes que podem ser combinadas para formar a solução geral.
  3. Equação indicial: Relacionada às raízes associadas à equação diferencial, especialmente em equações de Cauchy-Euler.

Passo 2

Vamos começar identificando a equação de Cauchy-Euler. Este tipo de equação tem a forma geral:
Onde é a segunda derivada de em relação a , e e são constantes.
A equação indicial associada a essa equação assume que a solução tem a forma . Ao substituir essa forma na equação diferencial, obtemos a equação indicial, que é uma equação quadrática em :
As raízes dessa equação determinam a forma das soluções.

Passo 3

No nosso caso, a equação indicial tem somente uma raiz real, o que significa que a equação quadrática possui uma raiz dupla. Vamos chamar essa raiz de .
Quando temos uma raiz dupla na equação indicial, as soluções da equação diferencial são:
Essas duas funções são linearmente independentes e formam uma base para as soluções da equação diferencial.

Passo 4

Agora, aplicando o valor da raiz , temos:
Essas são as duas soluções fundamentais da equação (2.11).

Passo 5

A solução geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem é uma combinação linear das soluções fundamentais. Portanto, para , a solução geral é:
Onde e são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais ou de contorno.

Resposta

A solução geral para a equação diferencial dada, para , é
onde e são constantes arbitrárias.

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