Se a equação indicial (2.12) tem somente uma raíz real, mostre que
e
são soluções fundamentais de (2.11) e portanto a solução geral de (2.11), para
, é
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial (referida como (2.11)) e uma equação indicial associada a ela (referida como (2.12)). A equação indicial tem somente uma raiz real. Nosso objetivo é mostrar que as funções
e
são soluções fundamentais da equação (2.11), e assim, escrever a solução geral para
.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
- Equações diferenciais de segunda ordem: Essas são equações que envolvem a segunda derivada de uma função desconhecida.
- Soluções fundamentais: São duas soluções linearmente independentes que podem ser combinadas para formar a solução geral.
- Equação indicial: Relacionada às raízes associadas à equação diferencial, especialmente em equações de Cauchy-Euler.
Passo 2
Vamos começar identificando a equação de Cauchy-Euler. Este tipo de equação tem a forma geral:
Onde
é a segunda derivada de
em relação a
, e
e
são constantes.
A equação indicial associada a essa equação assume que a solução tem a forma
. Ao substituir essa forma na equação diferencial, obtemos a equação indicial, que é uma equação quadrática em
:
As raízes dessa equação determinam a forma das soluções.
Passo 3
No nosso caso, a equação indicial tem somente uma raiz real, o que significa que a equação quadrática possui uma raiz dupla. Vamos chamar essa raiz de
.
Quando temos uma raiz dupla
na equação indicial, as soluções da equação diferencial são:
Essas duas funções são linearmente independentes e formam uma base para as soluções da equação diferencial.
Passo 4
Agora, aplicando o valor da raiz
, temos:
Essas são as duas soluções fundamentais da equação (2.11).
Passo 5
A solução geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem é uma combinação linear das soluções fundamentais. Portanto, para
, a solução geral é:
Onde
e
são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais ou de contorno.
Resposta
A solução geral para a equação diferencial dada, para
, é
onde
e
são constantes arbitrárias.