Considere a equação homogênea
, com
e
funções contínuas num intervalo aberto
. Sejam
e
duas soluções desta equação no intervalo
. Mostre que se
e
são LI, então elas são soluções fundamentais da equação diferencial em I. Sugestão: mostre que se
e
não são soluções fundamentais da equação diferencial, então
e
são LD.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial homogênea de segunda ordem:
Aqui,
e
são funções contínuas em um intervalo
. A gente tem duas soluções dessa equação,
e
. O exercício quer que a gente mostre que, se essas duas soluções são linearmente independentes (LI), então elas formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial nesse intervalo
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria de equações diferenciais e combinação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa duas funções serem linearmente independentes. Duas soluções
e
são LI se nenhuma delas pode ser escrita como múltiplo da outra, ou seja, não existe uma constante
tal que
para todo
no intervalo
.
Passo 3
Agora, o que é um conjunto fundamental de soluções? Em equações diferenciais de segunda ordem, um conjunto fundamental de soluções é composto por duas soluções que são linearmente independentes. Isso significa que qualquer solução geral da equação pode ser escrita como uma combinação linear dessas duas soluções:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Para mostrar que
e
são soluções fundamentais, vamos usar o conceito do Wronskiano. O Wronskiano de duas funções
e
é definido como:
Se o Wronskiano
for diferente de zero em algum ponto do intervalo
, as soluções são linearmente independentes e, portanto, formam um conjunto fundamental.
Passo 5
Como sabemos que
e
são linearmente independentes (LI) pelo enunciado, isso implica que o Wronskiano
não é zero em todo o intervalo
. Isso confirma que
e
formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial dada.
Resposta
Portanto, se
e
são soluções linearmente independentes da equação diferencial
no intervalo
, então elas formam um conjunto fundamental de soluções nessa região.