Considere a equação homogênea y'' + p(t) y' + q(t) y = 0, com p(t) e q(t) funções contínuas num intervalo aberto I. Sejam y1(t) e y2(t) duas soluções desta equação no intervalo I. Mostre que se y1(t) e y2(t) são LI, então elas são soluções fundamentais da equação diferencial em I. Sugestão: mostre que se y1(t) e y2(t) não são soluções fundamentais da equação diferencial, então y1(t) e y2(t) são LD.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial homogênea de segunda ordem:
Aqui, e são funções contínuas em um intervalo . A gente tem duas soluções dessa equação, e . O exercício quer que a gente mostre que, se essas duas soluções são linearmente independentes (LI), então elas formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial nesse intervalo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria de equações diferenciais e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa duas funções serem linearmente independentes. Duas soluções e são LI se nenhuma delas pode ser escrita como múltiplo da outra, ou seja, não existe uma constante tal que para todo no intervalo .

Passo 3

Agora, o que é um conjunto fundamental de soluções? Em equações diferenciais de segunda ordem, um conjunto fundamental de soluções é composto por duas soluções que são linearmente independentes. Isso significa que qualquer solução geral da equação pode ser escrita como uma combinação linear dessas duas soluções:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Para mostrar que e são soluções fundamentais, vamos usar o conceito do Wronskiano. O Wronskiano de duas funções e é definido como:
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo , as soluções são linearmente independentes e, portanto, formam um conjunto fundamental.

Passo 5

Como sabemos que e são linearmente independentes (LI) pelo enunciado, isso implica que o Wronskiano não é zero em todo o intervalo . Isso confirma que e formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial dada.

Resposta

Portanto, se e são soluções linearmente independentes da equação diferencial no intervalo , então elas formam um conjunto fundamental de soluções nessa região.

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