a) ((p => q) ^ p) => q
b) ((p => q) ^ q) => p
c) ((p => q) & ~p) => ~q
d) ((p => q) e não q) => não p

Passo 1

Oi! Vamos dar uma olhada nesse exercício de lógica proposicional que você trouxe. Aqui, a gente vai analisar algumas expressões lógicas envolvendo implicações e conectivos como “E” (conjunção) e “NÃO” (negação). Para resolver isso, vamos precisar entender como montar tabelas verdade e verificar se essas expressões são sempre verdadeiras (tautologias) ou se podem ser falsas em algum caso.

Passo 2

Antes de começarmos a resolver cada item, vamos recapitular alguns conceitos básicos:
  • Implicação ( ): Uma implicação p => q é verdadeira em todos os casos, exceto quando p é verdadeiro e q é falso.
  • Conjunção ( e): A expressão p e q é verdadeira somente quando ambos p e q são verdadeiros.
  • Negação ( neg): A negação é verdadeira quando p é falso, e vice-versa.
Vamos usar esses conceitos para construir as tabelas verdade das expressões dadas.

Passo 3

a) ((p => q) ^ p) => q

Vamos construir a tabela verdade para essa expressão.
p q p => q ((p => q) ^ p) => q
V V V V V
V F F F V
F V V F V
F F V F V
Analisando a última coluna, vemos que a expressão é sempre verdadeira, independentemente dos valores de p e q. Portanto, é uma tautologia.

Passo 4

b) ((p => q) ^ q) => p

Vamos construir a tabela verdade para essa expressão.
p q p => q ((p => q) ^ q) => p
V V V V V
V F F F V
F V V V F
F F V F V
Na última coluna, observamos que há um caso em que a expressão é falsa (quando p é Falso e q é Verdadeiro). Portanto, não é uma tautologia.

Passo 5

c) ((p => q) & ~p) => ~q

Vamos construir a tabela verdade para essa expressão.
p q p => q ((p => q) & ~p) => ~q
V V F V F V
V F F F F V
F V V V V F
F F V V V V
Na última coluna, há um caso em que a expressão é falsa (quando p é Falso e q é Verdadeiro). Portanto, não é uma tautologia.

Passo 6

d) ((p => q) e não q) => não p

Vamos construir a tabela verdade para essa expressão.
p q p => q ((p => q) e não q) => não p
V V F V F V
V F V F F V
F V F V F V
F F V V V V
Na última coluna, todas as entradas são verdadeiras. Portanto, essa expressão é uma tautologia.

Resposta

a) A expressão é tautologia.
b) A expressão não é tautologia.
c) A expressão não é tautologia.
d) A expressão é tautologia.

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