Um ponto material movimenta-se sobre uma trajetória retilínea. A função horária das posições é
, com
em metros e
em segundos. Determine:
a) a velocidade instantânea da partícula quando
;
a) a velocidade instantânea da partícula quando
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto que se move em linha reta, e a posição dele em qualquer tempo
é dada pela função
. O que a gente precisa descobrir aqui é a velocidade instantânea desse ponto quando
segundo. Para isso, vamos mexer com derivadas, que são ferramentas matemáticas que nos ajudam a encontrar a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, a velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é velocidade instantânea. Ela é basicamente a velocidade do objeto em um instante específico de tempo, diferente da velocidade média, que considera um intervalo de tempo. Para encontrar a velocidade instantânea, a gente precisa calcular a derivada da função posição
em relação ao tempo
. A derivada nos dá a inclinação da curva de posição naquele ponto, que é precisamente a velocidade.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. A regra básica de derivação para potências é: se você tem
, a derivada é
. Aplicando isso:
Então, a função velocidade
é:
Passo 4
Agora que temos a expressão para a velocidade em função do tempo, vamos substituir
segundo nessa equação para encontrar a velocidade instantânea nesse instante.
Resposta
A velocidade instantânea da partícula quando
segundo é de 13 metros por segundo.