Um ponto material movimenta-se sobre uma trajetória retilínea. A função horária das posições é s(t) = t^3 + 5 t^2, com s em metros e t em segundos. Determine:
a) a velocidade instantânea da partícula quando t = 1 s;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto que se move em linha reta, e a posição dele em qualquer tempo é dada pela função . O que a gente precisa descobrir aqui é a velocidade instantânea desse ponto quando segundo. Para isso, vamos mexer com derivadas, que são ferramentas matemáticas que nos ajudam a encontrar a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, a velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é velocidade instantânea. Ela é basicamente a velocidade do objeto em um instante específico de tempo, diferente da velocidade média, que considera um intervalo de tempo. Para encontrar a velocidade instantânea, a gente precisa calcular a derivada da função posição em relação ao tempo . A derivada nos dá a inclinação da curva de posição naquele ponto, que é precisamente a velocidade.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . A regra básica de derivação para potências é: se você tem , a derivada é . Aplicando isso:
Então, a função velocidade é:

Passo 4

Agora que temos a expressão para a velocidade em função do tempo, vamos substituir segundo nessa equação para encontrar a velocidade instantânea nesse instante.

Resposta

A velocidade instantânea da partícula quando segundo é de 13 metros por segundo.

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