Considere a equação de Legendre:
(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+lambda(lambda+1) y=0
onde y(x) está definida em x in[-1,1]. Para resolver a equação em x0=1 usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
(b) Usando a série de Frobenius, encontre o polinômio indicial e suas raízes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial chamada Equação de Legendre:
(1 - x^2) y'' - 2x y' + lambda(lambda + 1) y = 0
E queremos resolver essa equação no ponto usando o método de Frobenius. Esse método é útil quando a equação tem um ponto singular, como é o caso aqui. Para isso, precisamos encontrar o polinômio indicial e suas raízes, que vão nos ajudar a construir a solução da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método de Frobenius. Ele assume que a solução da equação diferencial pode ser escrita como uma série potências em torno do ponto singular y(x) = (x - x0)^r sumn=0^infty an (x - x0)^n . No nosso caso, a solução será da forma:
Aqui, é um expoente que precisamos determinar, e são os coeficientes da série.

Passo 3

Vamos substituir y(x) = (x - 1)^r sumn=0^infty an (x - 1)^n na expressão da solução:
y(z) = z^r sumn=0^infty an z^n
Para facilitar, vamos realizar uma mudança de variável: deixe y'(z) = sumn=0^infty an ( r z^r-1 z^n + z^r n z^n-1 ) = sumn=0^infty an ( r z^r-1 + n + n z^r + n -1 ) . Assim, nossa solução fica:
y''(z) = sumn=0^infty an ( r(r-1) z^r-2 + n + 2r n z^r-1 + n -1 + n(n-1) z^r + n -2 )
Agora, precisamos calcular as derivadas e em termos de :

Passo 4

Vamos substituir (1 - (z + 1)^2) y'' - 2(z + 1) y' + lambda(lambda + 1) y = 0 , (-2z - z^2) y'' - 2(z + 1) y' + lambda(lambda + 1) y = 0 e na Equação de Legendre:
Simplificando :

Passo 5

Agora, vamos organizar os termos da equação em potências de . O objetivo é identificar os termos de menor grau em para encontrar o polinômio indicial.
Os termos de menor grau vêm de ou similar, dependendo de . Ao igualar o coeficiente do menor expoente a zero, obtemos a equação indicial.

Passo 6

Após a substituição e coleta dos termos de menor grau, a equação indicial resulta em:
r(r - 1) - 2r = 0
Isso vem dos termos que multiplicam .

Passo 7

Vamos resolver a equação indicial:
r(r - 1) - 2r = 0 r^2 - r - 2r = 0 r^2 - 3r = 0 r(r - 3) = 0

Resposta

As raízes do polinômio indicial são e .

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