Considere a equação de Legendre:
onde
está definida em
. Para resolver a equação em
usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
(b) Usando a série de Frobenius, encontre o polinômio indicial e suas raízes.
(b) Usando a série de Frobenius, encontre o polinômio indicial e suas raízes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial chamada Equação de Legendre:
E queremos resolver essa equação no ponto
usando o método de Frobenius. Esse método é útil quando a equação tem um ponto singular, como é o caso aqui. Para isso, precisamos encontrar o polinômio indicial e suas raízes, que vão nos ajudar a construir a solução da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o método de Frobenius. Ele assume que a solução da equação diferencial pode ser escrita como uma série potências em torno do ponto singular
. No nosso caso, a solução
será da forma:
Aqui,
é um expoente que precisamos determinar, e
são os coeficientes da série.
Passo 3
Vamos substituir
na expressão da solução:
Para facilitar, vamos realizar uma mudança de variável: deixe
. Assim, nossa solução fica:
Agora, precisamos calcular as derivadas
e
em termos de
:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na Equação de Legendre:
Simplificando
:
Passo 5
Agora, vamos organizar os termos da equação em potências de
. O objetivo é identificar os termos de menor grau em
para encontrar o polinômio indicial.
Os termos de menor grau vêm de
ou similar, dependendo de
. Ao igualar o coeficiente do menor expoente a zero, obtemos a equação indicial.
Passo 6
Após a substituição e coleta dos termos de menor grau, a equação indicial resulta em:
Isso vem dos termos que multiplicam
.
Passo 7
Vamos resolver a equação indicial:
Resposta
As raízes do polinômio indicial são
e
.