Considere a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes
. Mostre que:
Se
e
são constantes positivas, todas as soluções da equação se aproximam de zero quando
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, que é algo como
. O que a gente precisa mostrar é que se os coeficientes
e
são positivos, todas as soluções dessa equação tendem a zero quando
vai para o infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais desse tipo e analisar o comportamento das soluções conforme
aumenta.
Passo 2
Primeiro, precisamos resolver a equação diferencial dada. Para equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, usamos a equação característica. Isso envolve substituir
por
, onde
é uma constante que vamos determinar. Ao fazer isso, obtemos a equação:
Essa é a equação característica que precisamos resolver para encontrar os valores de
.
Passo 3
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, o discriminante
vai nos dizer a natureza das soluções.
Passo 4
Temos três casos possíveis dependendo do valor de
:
-
: Duas raízes reais e distintas. -
: Duas raízes reais e iguais. -
: Duas raízes complexas conjugadas.
Vamos analisar cada caso para ver o comportamento das soluções quando
.
Passo 5
Caso 1:
As raízes são reais e distintas:
Como
é positivo e a soma das raízes
(negativa), ambas as raízes são negativas se
. Assim, as soluções têm a forma:
Como
e
são negativos,
e
tendem a zero quando
.
Caso 2:
Raízes reais e iguais:
A solução geral é:
Aqui,
é negativo porque
é positivo, então
tende a zero conforme
aumenta, e mesmo com o termo
, a exponencial domina, fazendo com que
.
Caso 3:
Raízes complexas conjugadas:
A solução geral é:
Aqui, o termo
tende a zero quando
, e os termos oscilatórios permanecem limitados. Portanto,
.
Resposta
Em todos os casos possíveis para
e
positivos, as soluções da equação diferencial
tendem a zero quando
.
Exercícios relacionados
Considere a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes
. Mostre que:
Se e
, todas as soluções são limitadas quando
.
Se
Encontre a solução geral da equação:
Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
O parabolóide Resp.:
,
O parabolóide
Considere a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes
. Mostre que:
Se e
, todas as soluções se aproximam de uma constante, dependendo das condições iniciais, quando
. Determine essa constante para as condições iniciais
.
Se