Considere a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes y''(x) + a y'(x) + b y(x) = 0. Mostre que:
Se a e b são constantes positivas, todas as soluções da equação se aproximam de zero quando x -> infinito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, que é algo como . O que a gente precisa mostrar é que se os coeficientes a e b são positivos, todas as soluções dessa equação tendem a zero quando x vai para o infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais desse tipo e analisar o comportamento das soluções conforme x aumenta.

Passo 2

Primeiro, precisamos resolver a equação diferencial dada. Para equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, usamos a equação característica. Isso envolve substituir y(x) por , onde r é uma constante que vamos determinar. Ao fazer isso, obtemos a equação:
Essa é a equação característica que precisamos resolver para encontrar os valores de r.

Passo 3

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, o discriminante vai nos dizer a natureza das soluções.

Passo 4

Temos três casos possíveis dependendo do valor de Delta:
  1. : Duas raízes reais e distintas.
  2. : Duas raízes reais e iguais.
  3. : Duas raízes complexas conjugadas.
Vamos analisar cada caso para ver o comportamento das soluções quando x -> infinito.

Passo 5

Caso 1:
As raízes são reais e distintas:
Como a é positivo e a soma das raízes (negativa), ambas as raízes são negativas se . Assim, as soluções têm a forma:
Como e são negativos, e tendem a zero quando x -> infinito.
Caso 2:
Raízes reais e iguais:
A solução geral é:
Aqui, r é negativo porque a é positivo, então tende a zero conforme x aumenta, e mesmo com o termo x, a exponencial domina, fazendo com que .
Caso 3:
Raízes complexas conjugadas:
A solução geral é:
Aqui, o termo tende a zero quando x -> infinito, e os termos oscilatórios permanecem limitados. Portanto, .

Resposta

Em todos os casos possíveis para a e b positivos, as soluções da equação diferencial tendem a zero quando x -> infinito.

Exercícios relacionados

Considere a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes y''(x) + a y'(x) + b y(x) = 0. Mostre que:
Se a = 0 e b > 0, todas as soluções são limitadas quando x -> infinito.
Encontre a solução geral da equação:
4 y'' + 4 y' + y = 0
Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
O parabolóide z + x^2 + y^2 = 16 Resp.: r(u, v) = (u cos v, u sen v, -u^2 + 16), (u, v) in [0, infinito] x [0, 2 pi]
Considere a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes y''(x) + a y'(x) + b y(x) = 0. Mostre que:
Se a > 0 e b = 0, todas as soluções se aproximam de uma constante, dependendo das condições iniciais, quando x -> infinito. Determine essa constante para as condições iniciais y(0) = y0, y'(0) = y1.