Considere a equação que não é necessariamente exata. Então podemos tentar converter a uma equação exata, multiplicando um fator , obtendo . Mostre que, se depender somente de , tem-se que e quando depender somente de , então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício propõe que a gente trabalhe com uma equação diferencial da forma , que nem sempre é exata. Nosso objetivo é transformar essa equação em exata multiplicando por um fator . Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Precisamos entender como encontrar dependendo de certas condições dadas no problema.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma é dita exata se existe uma função tal que:
Isso significa que as derivadas parciais de coincidem com e . Para que a equação seja exata, precisa-se que as derivadas cruzadas sejam iguais, ou seja:
Se essa condição não for satisfeita, a equação não é exata e precisamos encontrar um fator integrante que, ao multiplicar a equação original, torne-a exata.

Passo 3

Agora, vamos introduzir o fator integrante . Queremos que a equação seja exata. Para isso, a condição de exatidão passa a ser:
Aplicando as derivadas, temos:

Passo 4

Podemos reorganizar a equação acima para isolar os termos que envolvem :
Dividindo ambos os lados por , obtemos:

Passo 5

Vamos considerar o primeiro caso onde depende somente de . Nesse caso, a equação simplifica para uma relação que depende apenas de , permitindo que a derivada de seja função apenas de :

Passo 6

Essa equaç��o diferencial para é uma equação linear que pode ser resolvida por integração direta. Integrando ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para , então temos:
Onde é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para :

Passo 7

De maneira similar, consideramos o segundo caso onde depende somente de . A equação então se torna:
Integrando em relação a :
Novamente, o lado esquerdo resulta em , então:
Exponenciando ambos os lados:

Resposta

Assim, mostramos que:
  • Se depende somente de , então o fator integrante é:
  • Se depende somente de , então o fator integrante é:

Exercícios relacionados

Determine se as séries geométricas convergem ou divergem; se convergir, calcule sua soma.
Determine de maneira que:
a) a reta pelos pontos e tenha inclinação 5 ;
Utilize o teste para divergência para determinar se a série diverge, ou se é necessária uma investigação adicional.
Determine de maneira que:
d) o ponto pertença à reta passando pelos pontos .