Considere a equação
que não é necessariamente exata. Então podemos tentar converter a uma equação exata, multiplicando um fator
, obtendo
. Mostre que, se
depender somente de
, tem-se que
e quando
depender somente de
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício propõe que a gente trabalhe com uma equação diferencial da forma
, que nem sempre é exata. Nosso objetivo é transformar essa equação em exata multiplicando por um fator
. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Precisamos entender como encontrar
dependendo de certas condições dadas no problema.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma
é dita exata se existe uma função
tal que:
Isso significa que as derivadas parciais de
coincidem com
e
. Para que a equação seja exata, precisa-se que as derivadas cruzadas sejam iguais, ou seja:
Se essa condição não for satisfeita, a equação não é exata e precisamos encontrar um fator integrante
que, ao multiplicar a equação original, torne-a exata.
Passo 3
Agora, vamos introduzir o fator integrante
. Queremos que a equação
seja exata. Para isso, a condição de exatidão passa a ser:
Aplicando as derivadas, temos:
Passo 4
Podemos reorganizar a equação acima para isolar os termos que envolvem
:
Dividindo ambos os lados por
, obtemos:
Passo 5
Vamos considerar o primeiro caso onde
depende somente de
. Nesse caso, a equação simplifica para uma relação que depende apenas de
, permitindo que a derivada de
seja função apenas de
:
Passo 6
Essa equa�o diferencial para
é uma equação linear que pode ser resolvida por integração direta. Integrando ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
, então temos:
Onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Passo 7
De maneira similar, consideramos o segundo caso onde
depende somente de
. A equação então se torna:
Integrando em relação a
:
Novamente, o lado esquerdo resulta em
, então:
Exponenciando ambos os lados:
Resposta
Assim, mostramos que:
- Se
depende somente de , então o fator integrante é:
- Se
depende somente de , então o fator integrante é:
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.
d) o ponto