Considere a equação M d x+N d y=0 que não é necessariamente exata. Então podemos tentar converter a uma equação exata, multiplicando um fator mu, obtendo mu M d x+mu N d y=0. Mostre que, se partial N / partial x-partial M / partial yM depender somente de y, tem-se que mu(y)=e^integral partial N / partial x-partial M / partial yM d y e quando partial M / partial y-partial N / partial xN depender somente de x, então mu(x)=e^integral partial M / partial y-partial N / partial xN d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício propõe que a gente trabalhe com uma equação diferencial da forma , que nem sempre é exata. Nosso objetivo é transformar essa equação em exata multiplicando por um fator . Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Precisamos entender como encontrar dependendo de certas condições dadas no problema.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma partial Psipartial x = M e partial Psipartial y = N é dita exata se existe uma função partial Mpartial y = partial Npartial x tal que:
Isso significa que as derivadas parciais de coincidem com e . Para que a equação seja exata, precisa-se que as derivadas cruzadas sejam iguais, ou seja:
Se essa condição não for satisfeita, a equação não é exata e precisamos encontrar um fator integrante que, ao multiplicar a equação original, torne-a exata.

Passo 3

Agora, vamos introduzir o fator integrante partial (mu M)partial y = partial (mu N)partial x . Queremos que a equação mu partial Mpartial y + M dmudy = mu partial Npartial x + N dmudx seja exata. Para isso, a condição de exatidão passa a ser:
Aplicando as derivadas, temos:

Passo 4

Podemos reorganizar a equação acima para isolar os termos que envolvem M dmudy - N dmudx = mu ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) :
Mmu dmudy - Nmu dmudx = partial Npartial x - partial Mpartial y
Dividindo ambos os lados por , obtemos:

Passo 5

Vamos considerar o primeiro caso onde 1mu dmudy = partial N / partial x - partial M / partial yM depende somente de . Nesse caso, a equação simplifica para uma relação que depende apenas de , permitindo que a derivada de seja função apenas de :

Passo 6

Essa equaç��o diferencial para integral 1mu dmudy , dy = integral partial N / partial x - partial M / partial yM , dy é uma equação linear que pode ser resolvida por integração direta. Integrando ambos os lados em relação a ln |mu| = integral partial N / partial x - partial M / partial yM , dy + C :
mu = e^integral partial N / partial x - partial M / partial yM , dy
O lado esquerdo simplifica para , então temos:
Onde é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para :

Passo 7

De maneira similar, consideramos o segundo caso onde 1mu dmudx = partial M / partial y - partial N / partial xN depende somente de integral 1mu dmudx , dx = integral partial M / partial y - partial N / partial xN , dx . A equação então se torna:
ln |mu| = integral partial M / partial y - partial N / partial xN , dx + C
Integrando em relação a mu = e^integral partial M / partial y - partial N / partial xN , dx :
Novamente, o lado esquerdo resulta em , então:
Exponenciando ambos os lados:

Resposta

Assim, mostramos que:
  • Se mu(y) = e^integral partial N / partial x - partial M / partial yM , dy depende somente de mu(x) = e^integral partial M / partial y - partial N / partial xN , dx , então o fator integrante é:
  • Se depende somente de , então o fator integrante é:

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