Utilize o teste para divergência para determinar se a série diverge, ou se é necessária uma investigação adicional.
sumn=1^infty nln (n+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma série infinita para analisar e quer saber se ela diverge ou se precisa investigar mais. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre testes de convergência de séries, especificamente o Teste para Divergência. Para resolver isso, vamos precisar calcular o limite do termo geral da série quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série que você deu:
an = nln (n+1)

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste para Divergência. Esse teste diz que se o limite do termo geral limn to infty nln (n+1) quando tende ao infinito não for zero, a série diverge. Ou seja, precisamos calcular:

Passo 4

Vamos calcular esse limite. À medida que limn to infty nln (n+1) = infty cresce, tanto o numerador quanto o denominador tendem ao infinito. Mas queremos ver como eles se comportam juntos:
Isso acontece porque o numerador cresce muito mais rápido do que o denominador.

Resposta

Como o limite do termo geral é infinito (que não é zero), a série diverge.

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