Utilize o teste para divergência para determinar se a série diverge, ou se é necessária uma investigação adicional.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma série infinita para analisar e quer saber se ela diverge ou se precisa investigar mais. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre testes de convergência de séries, especificamente o Teste para Divergência. Para resolver isso, vamos precisar calcular o limite do termo geral da série quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série que você deu:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste para Divergência. Esse teste diz que se o limite do termo geral
quando
tende ao infinito não for zero, a série diverge. Ou seja, precisamos calcular:
Passo 4
Vamos calcular esse limite. À medida que
cresce, tanto o numerador
quanto o denominador
tendem ao infinito. Mas queremos ver como eles se comportam juntos:
Isso acontece porque o numerador cresce muito mais rápido do que o denominador.
Resposta
Como o limite do termo geral é infinito (que não é zero), a série diverge.
Exercícios relacionados
Considere a equação
que não é necessariamente exata. Então podemos tentar converter a uma equação exata, multiplicando um fator
, obtendo
. Mostre que, se
depender somente de
, tem-se que
e quando
depender somente de
, então
.
Determine se as séries geométricas convergem ou divergem; se convergir, calcule sua soma.
Determine
de maneira que:
d) o ponto pertença à reta passando pelos pontos
.
d) o ponto
Simplifique