Determine se as séries geométricas convergem ou divergem; se convergir, calcule sua soma.
sumn=1^infty 2^-n 3^n-1

Passo 1

Beleza, a parada é a seguinte: a gente tem que ver se a série geométrica sumn=1^infty 2^-n 3^n-1 converge ou não. Se ela convergir, a gente também vai calcular a soma dela. Para isso, vamos precisar entender como funciona uma série geométrica e identificar a razão dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada geral na série: sumn=1^infty 2^-n 3^n-1. Para facilitar, vamos reescrever cada termo dessa série. Lembra que 2^-n = 12^n e 3^n-1 = 3^n3. Então, o termo geral fica:
2^-n 3^n-1 = 3^n3 cdot 2^n = 13 ( 32 )^n

Passo 3

Agora, percebemos que essa série é uma série geométrica da forma sumn=1^infty a cdot r^n, onde a = 13 e r = 32. Em uma série geométrica, a condição para que a série convirja é que o valor absoluto da razão |r| seja menor que 1.

Passo 4

Vamos verificar a razão: r = 32 = 1,5. Como |1,5| > 1, isso significa que a série não satisfaz a condição de convergência. Portanto, a série não converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 2^-n 3^n-1 diverge.

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