Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n >= 2. Determine se as seguintes proposições são V ou F, justificando sua resposta.
(d) det(2 A) det(3 B)=6 det A det B

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se a equação é verdadeira ou falsa. A matéria aqui é sobre determinantes de matrizes e como eles se comportam quando a gente multiplica a matriz por um número. Vamos precisar lembrar das propriedades dos determinantes, especialmente quando multiplicamos a matriz por um escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando multiplicamos uma matriz quadrada det(kA) = k^n det(A) por um número , o determinante de é dado por:
onde é a ordem da matriz (ou seja, o número de linhas e colunas que ela tem).

Passo 3

Aplicando essa propriedade para a matriz det(2A) = 2^n det(A) , temos:
det(3B) = 3^n det(B)
E para a matriz :

Passo 4

Agora, vamos multiplicar esses dois determinantes:
det(2A) det(3B) = (2^n det(A)) times (3^n det(B)) = (2 times 3)^n det(A) det(B) = 6^n det(A) det(B)

Passo 5

A equação que a gente quer testar é:
det(2A) det(3B) = 6 det(A) det(B)
Comparando com o que encontramos:
6^n det(A) det(B) = 6 det(A) det(B)
Isso só é verdadeiro se . Vamos resolver isso:

Passo 6

6^n = 6 implies n = 1
Mas a questão diz que as matrizes são de ordem , então será maior que 6.

Resposta

Falso. A equação não é válida para matrizes de ordem .

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