Lança se uma bola ,verticalmente de cima para baixo da altura de 4 metros . Após cada choque com o solo ela recupera apenas a metade da altura anterior.
Qual é a soma de todos os deslocamentos (medidos verticalmente) efetuados pela a bola ate o momento de repouso?
Qual é a soma de todos os deslocamentos (medidos verticalmente) efetuados pela a bola ate o momento de repouso?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma bola é lançada verticalmente para baixo de uma altura de 4 metros. A cada vez que a bola bate no chão, ela volta apenas metade da altura anterior. Nosso objetivo aqui é calcular a soma de todos os deslocamentos verticais que a bola faz até parar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas, que são usadas para somar sequências de números que têm uma razão constante entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os deslocamentos da bola. Ela começa descendo 4 metros até o chão. Depois, sobe metade dessa altura, ou seja, 2 metros, e volta a descer mais 2 metros. Em seguida, sobe novamente metade da altura anterior, que é 1 metro, e desce mais 1 metro. Esse padrão continua infinitamente.
Passo 3
Agora, vamos listar esses deslocamentos:
- Desce 4 metros
- Sobe 2 metros
- Desce 2 metros
- Sobe 1 metro
- Desce 1 metro
- E assim por diante…
Passo 4
Para somar todos esses deslocamentos, podemos separar os movimentos de descida e subida. A descida total será 4 + 2 + 1 + 0.5 + …, e a subida total será 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + …
Passo 5
Observamos que tanto a soma das descidas quanto das subidas são séries geométricas, onde cada termo é metade do anterior. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
onde $ a $ é o primeiro termo e $ r $ é a razão comum (neste caso, $ r = 0.5 $).
Passo 6
Calculando a soma das descidas:
E a soma das subidas:
Passo 7
No total, a soma de todos os deslocamentos (descidas e subidas) é:
Resposta
A soma de todos os deslocamentos verticais efetuados pela bola até repousar é 12 metros.