Lança se uma bola ,verticalmente de cima para baixo da altura de 4 metros . Após cada choque com o solo ela recupera apenas a metade da altura anterior.
Qual é a soma de todos os deslocamentos (medidos verticalmente) efetuados pela a bola ate o momento de repouso?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma bola é lançada verticalmente para baixo de uma altura de 4 metros. A cada vez que a bola bate no chão, ela volta apenas metade da altura anterior. Nosso objetivo aqui é calcular a soma de todos os deslocamentos verticais que a bola faz até parar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas, que são usadas para somar sequências de números que têm uma razão constante entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os deslocamentos da bola. Ela começa descendo 4 metros até o chão. Depois, sobe metade dessa altura, ou seja, 2 metros, e volta a descer mais 2 metros. Em seguida, sobe novamente metade da altura anterior, que é 1 metro, e desce mais 1 metro. Esse padrão continua infinitamente.

Passo 3

Agora, vamos listar esses deslocamentos:
  • Desce 4 metros
  • Sobe 2 metros
  • Desce 2 metros
  • Sobe 1 metro
  • Desce 1 metro
  • E assim por diante…

Passo 4

Para somar todos esses deslocamentos, podemos separar os movimentos de descida e subida. A descida total será 4 + 2 + 1 + 0.5 + …, e a subida total será 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + …

Passo 5

Observamos que tanto a soma das descidas quanto das subidas são séries geométricas, onde cada termo é metade do anterior. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
S = a1 - r
onde $ a $ é o primeiro termo e $ r $ é a razão comum (neste caso, $ r = 0.5 $).

Passo 6

Calculando a soma das descidas:
Sdescidas = 4 + 2 + 1 + 0.5 + ldots = 4 + 21 - 0.5 = 4 + 4 = 8 metros
E a soma das subidas:
Ssubidas = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + ldots = 21 - 0.5 = 4 metros

Passo 7

No total, a soma de todos os deslocamentos (descidas e subidas) é:
Stotal = Sdescidas + Ssubidas = 8 + 4 = 12 metros

Resposta

A soma de todos os deslocamentos verticais efetuados pela bola até repousar é 12 metros.

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