Encontre uma equação para o plano tangente à superfície de
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação do plano tangente à superfície dada por
no ponto
. Vamos usar Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de derivadas parciais, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é um plano tangente. Imagine que você tem uma superfície 3D, como uma montanha. O plano tangente é como um plano perfeitamente alinhado que “toca” a superfície naquele ponto específico, sem cortar a montanha naquele local. Matemática isso significa que o plano tem a mesma inclinação que a superfície naquele ponto.
Passo 3
Para encontrar o plano tangente, usamos a seguinte fórmula:
Aqui:
-
é a função da superfície, no nosso caso . -
é o ponto onde queremos o plano tangente, que é . -
e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais.
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Vamos agora avaliar essas derivadas no ponto
.
Para
em
:
Para
em
:
Passo 6
Agora, substituímos tudo na fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores:
Passo 7
Vamos simplificar essa equação:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto
é: