Encontre uma equação para o plano tangente à superfície de no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação do plano tangente à superfície dada por no ponto . Vamos usar Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de derivadas parciais, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um plano tangente. Imagine que você tem uma superfície 3D, como uma montanha. O plano tangente é como um plano perfeitamente alinhado que “toca” a superfície naquele ponto específico, sem cortar a montanha naquele local. Matemática isso significa que o plano tem a mesma inclinação que a superfície naquele ponto.

Passo 3

Para encontrar o plano tangente, usamos a seguinte fórmula:
Aqui:
  • é a função da superfície, no nosso caso .
  • é o ponto onde queremos o plano tangente, que é .
  • e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais.
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Vamos agora avaliar essas derivadas no ponto .
Para em :
Para em :

Passo 6

Agora, substituímos tudo na fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores:

Passo 7

Vamos simplificar essa equação:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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