lim (x, y) (1, sin 3) (x^2+1) cos (y)+e^xx^2+tg^2(y)+1

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa encontrar o limite da função
lim (x, y) (1, sin 3) (x^2+1) cos (y)+e^xx^2+tg^2(y)+1
Esse problema pertence ao conteúdo de Limites de Funções de Várias Variáveis. Para resolver, vamos precisar saber se a função é contínua no ponto para o qual estamos tirando o limite. Se for, o limite é simplesmente o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto para o qual (x, y) está se aproximando: é o ponto (1, sin 3). Vamos substituir x por 1 e y por sin 3 na função para verificar se ela está bem definida nesse ponto.

Passo 3

Vamos calcular o numerador da função no ponto (1, sin 3):
(x^2 + 1) cos(y) + e^x = (1^2 + 1) cos(sin 3) + e^1 = 2 cos(sin 3) + e

Passo 4

Agora, vamos calcular o denominador da função no mesmo ponto:
x^2 + tg^2(y) + 1 = 1^2 + tg^2(sin 3) + 1 = 1 + tg^2(sin 3) + 1 = 2 + tg^2(sin 3)

Passo 5

Para garantir que não estamos dividindo por zero, vamos verificar o denominador:
Sabemos que tg^2(sin 3) é um número positivo, então:
2 + tg^2(sin 3) > 2 > 0
Isso significa que a função está bem definida no ponto (1, sin 3).

Passo 6

Como a função é contínua no ponto (1, sin 3), o limite é simplesmente o valor da função nesse ponto. Portanto:
lim (x, y) (1, sin 3) (x^2+1) cos (y)+e^xx^2+tg^2(y)+1 = 2 cos(sin 3) + e2 + tg^2(sin 3)

Resposta

O limite é igual a dfrac2 cos(sin 3) + e2 + tg^2(sin 3).

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