Considere a equação .
Encontre o valor de para o qual essa equação tenha três soluções. (Existe somente um valor com essas condições.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação juntos! O enunciado nos pede para encontrar o valor de na equação que faz com que a equação tenha exatamente três soluções. Vamos precisar entender um pouco sobre funções absolutas e resolver equações quadráticas. Vou te guiar passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . A barra de valor absoluto transforma qualquer número dentro dela em um número não negativo. Então, significa a distância de até zero na reta numérica.
Passo 3
Para resolver a equação , precisamos considerar dois casos, já que o valor absoluto pode ser igual tanto ao próprio quanto ao seu inverso:
Isso nos dá duas equações quadráticas para resolver.
Passo 4
Vamos resolver a primeira equação: .
Adicionando 4 em ambos os lados:
Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Então, essa equação nos dá duas soluções: e .
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda equação: .
Somando 4 em ambos os lados:
Novamente, tiramos a raiz quadrada:
No entanto, é importante notar que para essas soluções serem reais, o que está dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero:
Passo 6
Até agora, temos:
Duas soluções da primeira equação: e
Duas soluções da segunda equação, porém válidas apenas se : e
Queremos que a equação original tenha exatamente três soluções. Isso significa que uma das soluções das duas equações deve coincidir, ou seja, deve haver uma solução repetida.
Passo 7
Para ter três soluções, uma das duas soluções da segunda equação deve ser igual a uma das duas soluções da primeira equação. Isso acontece quando , ou seja:
Quando , a segunda equação se torna , que tem apenas uma solução real .
Passo 8
Com , as soluções são:
Da primeira equação: e
Da segunda equação:
Portanto, as três soluções são , e .
Resposta
O valor de que faz a equação ter exatamente três soluções é .