Considere a equação .
Encontre o valor de para o qual essa equação tenha três soluções. (Existe somente um valor com essas condições.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação juntos! O enunciado nos pede para encontrar o valor de na equação que faz com que a equação tenha exatamente três soluções. Vamos precisar entender um pouco sobre funções absolutas e resolver equações quadráticas. Vou te guiar passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . A barra de valor absoluto transforma qualquer número dentro dela em um número não negativo. Então, significa a distância de até zero na reta numérica.

Passo 3

Para resolver a equação , precisamos considerar dois casos, já que o valor absoluto pode ser igual tanto ao próprio quanto ao seu inverso:
Isso nos dá duas equações quadráticas para resolver.

Passo 4

Vamos resolver a primeira equação: .
Adicionando 4 em ambos os lados:
Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Então, essa equação nos dá duas soluções: e .

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda equação: .
Somando 4 em ambos os lados:
Novamente, tiramos a raiz quadrada:
No entanto, é importante notar que para essas soluções serem reais, o que está dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero:

Passo 6

Até agora, temos:
  • Duas soluções da primeira equação: e
  • Duas soluções da segunda equação, porém válidas apenas se : e
Queremos que a equação original tenha exatamente três soluções. Isso significa que uma das soluções das duas equações deve coincidir, ou seja, deve haver uma solução repetida.

Passo 7

Para ter três soluções, uma das duas soluções da segunda equação deve ser igual a uma das duas soluções da primeira equação. Isso acontece quando , ou seja:
Quando , a segunda equação se torna , que tem apenas uma solução real .

Passo 8

Com , as soluções são:
  • Da primeira equação: e
  • Da segunda equação:
Portanto, as três soluções são , e .

Resposta

O valor de que faz a equação ter exatamente três soluções é .

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Considere a equação .
Existem outros possíveis números de soluções dessa equação? Explique.
Encontre o domínio da função.
Considere a equação .
Encontre o valor de para o qual essa equação tenha duas soluções. (Existem vários valores com essas condições.)
Esboce o gráfico das funções: