Considere a equação |x^2 - 4| = c.
Encontre o valor de c para o qual essa equação tenha duas soluções. (Existem vários valores com essas condições.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente resolver a equação |x^2 - 4| = c e encontrar os valores de c que fazem essa equação ter duas soluções. Estamos lidando com funções absolutas e equações quadráticas. Para resolver, vamos precisar entender como a função absoluta funciona e como determinar o número de soluções de uma equação quadrática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa |x^2 - 4| = c. A barra de valor absoluto indica que o que está dentro pode ser positivo ou negativo, mas o resultado sempre será positivo ou zero. Então, a equação |x^2 - 4| = c pode ser dividida em duas situações:

Passo 3

Vamos resolver cada uma dessas equações separadamente.
Para a primeira equação:

Isso pode ser reescrito como:
Para a segunda equação:

Reescrevendo:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores de c que fazem com que cada uma dessas equações tenha soluções reais.
Sabemos que, para uma equação quadrática , existem soluções reais se e somente se .
Então, para a primeira equação :
Para a segunda equação :

Passo 5

Agora, vamos analisar quando a equação original tem duas soluções reais. Isso ocorre quando ambas as equações resultantes têm soluções reais e distintas.
Para que ambas as equações tenham soluções reais:
Mas queremos exatamente duas soluções no total. Vamos verificar quando cada equação contribui com soluções distintas.
  • Se , as duas equações e terão soluções diferentes.
  • Se , a segunda equação se torna , que tem soluções , e a primeira equação , que são as mesmas soluções, resultando em apenas duas soluções no total.
  • Se , a equação ainda tem soluções reais, mas a equação também tem, e as soluções serão diferentes desde que , o que é verdade para c != 0.
Portanto, para garantir que existam exatamente duas soluções reais distintas, c deve estar no intervalo .

Resposta

O valor de c deve satisfazer para que a equação |x^2 - 4| = c tenha duas soluções reais.

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