Considere a equação .
Encontre o valor de para o qual essa equação tenha duas soluções. (Existem vários valores com essas condições.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente resolver a equação e encontrar os valores de que fazem essa equação ter duas soluções. Estamos lidando com funções absolutas e equações quadráticas. Para resolver, vamos precisar entender como a função absoluta funciona e como determinar o número de soluções de uma equação quadrática.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . A barra de valor absoluto indica que o que está dentro pode ser positivo ou negativo, mas o resultado sempre será positivo ou zero. Então, a equação pode ser dividida em duas situações:
Passo 3
Vamos resolver cada uma dessas equações separadamente.
Para a primeira equação:
Isso pode ser reescrito como:
Para a segunda equação:
Reescrevendo:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os valores de que fazem com que cada uma dessas equações tenha soluções reais.
Sabemos que, para uma equação quadrática , existem soluções reais se e somente se .
Então, para a primeira equação :
Para a segunda equação :
Passo 5
Agora, vamos analisar quando a equação original tem duas soluções reais. Isso ocorre quando ambas as equações resultantes têm soluções reais e distintas.
Para que ambas as equações tenham soluções reais:
Mas queremos exatamente duas soluções no total. Vamos verificar quando cada equação contribui com soluções distintas.
Se , as duas equações e terão soluções diferentes.
Se , a segunda equação se torna , que tem soluções , e a primeira equação , que são as mesmas soluções, resultando em apenas duas soluções no total.
Se , a equação ainda tem soluções reais, mas a equação também tem, e as soluções serão diferentes desde que , o que é verdade para .
Portanto, para garantir que existam exatamente duas soluções reais distintas, deve estar no intervalo .
Resposta
O valor de deve satisfazer para que a equação tenha duas soluções reais.