Considere a equação .
Existem outros possíveis números de soluções dessa equação? Explique.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos a equação . O conteúdo envolvido aqui é o de funções absolutas e equações quadráticas. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender como a função valor absoluto funciona e como resolver equações que envolvem expressões quadráticas.
Passo 2
Primeiro, entendamos o que significa a função valor absoluto. A expressão representa a distância de em relação a zero na reta numérica. Então, quer dizer que a distância de até zero é igual a . Como o valor absoluto sempre resulta em um número não negativo, deve ser maior ou igual a zero.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação . Isso significa que:
Vamos resolver cada uma dessas equações separadamente.
Passo 4
Primeira equação:
Adicionando 4 em ambos os lados:
Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 5
Segunda equação:
Adicionando 4 em ambos os lados:
Novamente, tiramos a raiz quadrada:
Passo 6
Agora, vamos analisar as soluções encontradas:
Da primeira equação, sempre teremos duas soluções reais para qualquer , já que é sempre positivo.
Da segunda equação, só é real se , ou seja, se . Se , teremos duas soluções reais; se , teremos uma solução real (já que ).
Passo 7
Portanto:
Se , a equação original terá quatro soluções: duas da primeira equação e duas da segunda.
Se , teremos duas soluções: duas da primeira equação e uma solução da segunda (que neste caso é ).
Se , a segunda equação não terá soluções reais, então a equação original terá apenas duas soluções provenientes da primeira equação.
Resposta
A equação pode ter duas ou quatro soluções reais, dependendo do valor de .