Considere a equação |x^2 - 4| = c.
Existem outros possíveis números de soluções dessa equação? Explique.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos a equação |x^2 - 4| = c. O conteúdo envolvido aqui é o de funções absolutas e equações quadráticas. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender como a função valor absoluto funciona e como resolver equações que envolvem expressões quadráticas.

Passo 2

Primeiro, entendamos o que significa a função valor absoluto. A expressão |x^2 - 4| representa a distância de x^2 - 4 em relação a zero na reta numérica. Então, |x^2 - 4| = c quer dizer que a distância de x^2 - 4 até zero é igual a c. Como o valor absoluto sempre resulta em um número não negativo, c deve ser maior ou igual a zero.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação |x^2 - 4| = c. Isso significa que:
Vamos resolver cada uma dessas equações separadamente.

Passo 4

Primeira equação:
Adicionando 4 em ambos os lados:
Para encontrar x, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Passo 5

Segunda equação:
Adicionando 4 em ambos os lados:
Novamente, tiramos a raiz quadrada:

Passo 6

Agora, vamos analisar as soluções encontradas:
  • Da primeira equação, sempre teremos duas soluções reais para qualquer , já que é sempre positivo.
  • Da segunda equação, só é real se , ou seja, se . Se , teremos duas soluções reais; se , teremos uma solução real (já que ).

Passo 7

Portanto:
  • Se , a equação original terá quatro soluções: duas da primeira equação e duas da segunda.
  • Se , teremos duas soluções: duas da primeira equação e uma solução da segunda (que neste caso é x = 0).
  • Se , a segunda equação não terá soluções reais, então a equação original terá apenas duas soluções provenientes da primeira equação.

Resposta

A equação |x^2 - 4| = c pode ter duas ou quatro soluções reais, dependendo do valor de c.

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