Considere a equação .
Encontre o valor de para o qual essa equação tenha quatro soluções. (Existem vários valores com essas condições.)

Passo 1

Vamos resumir o que a gente tem aqui: temos a equação e precisamos encontrar os valores de que fazem essa equação ter quatro soluções diferentes. Isso envolve entender como funcionam as funções valor absoluto e equações quadráticas. Vamos precisar conhecer um pouco sobre como resolver equações com valor absoluto e analisar as soluções possíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a expressão dentro do valor absoluto, , pode ser tanto positiva quanto negativa. O valor absoluto torna qualquer resultado negativo positivo. Então, para resolver , a gente precisa considerar duas situações:
  1. Quando é positivo ou zero:
  2. Quando é negativo:

Passo 3

Vamos resolver cada uma dessas equações separadamente.
Primeira equação:
Adicionando 4 aos dois lados:
Agora, tirando a raiz quadrada:
Segunda equação:
Adicionando 4 aos dois lados:
Tirando a raiz quadrada:

Passo 4

Agora, temos quatro possíveis soluções:
Para que todas essas soluções sejam reais, as expressões dentro das raízes quadradas precisam ser maiores ou iguais a zero.

Passo 5

Vamos analisar as condições para as raízes serem reais:
  1. Para e :
  1. Para e :

Passo 6

Então, combinando as duas condições:
Isso garante que todas as soluções sejam reais. Mas a pergunta quer que a equação tenha quatro soluções, ou seja, queremos que as soluções sejam todas distintas.

Passo 7

Para que haja quatro soluções diferentes, precisamos que ambas as equações e tenham duas soluções distintas cada.
Isso acontece quando:
Ou seja:

Resposta

Os valores de que fazem a equação ter quatro soluções são todos os números que satisfazem .

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