Esboce o gráfico das funções:
y = 1 + x^2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa esboçar o gráfico da função . Isso significa que vamos desenhar a parábola que representa essa função. Para fazer isso, vamos precisar saber alguns conceitos básicos sobre funções quadráticas, como vértice, eixo de simetria, interseções com os eixos, e a concavidade da parábola.

Passo 2

Vamos identificar o vértice da parábola. A função está na forma . No nosso caso, , , e . A fórmula para encontrar o eixo de simetria e a coordenada do vértice é .
Então,
Agora, substituímos na função para encontrar :
Portanto, o vértice está no ponto .

Passo 3

O eixo de simetria da parábola é a reta vertical que passa pelo vértice. Como a coordenada do vértice é 0, o eixo de simetria é a reta , que na verdade é o eixo y.

Passo 4

Vamos encontrar as interseções com os eixos.
  • Interseção com o eixo y: É quando .
Então, a interseção com o eixo y é no ponto (mesmo que o vértice).
  • Interseção com o eixo x: É quando .
Aqui, percebemos que não há solução real para , o que significa que a parábola não cruza o eixo x.

Passo 5

Vamos analisar a concavidade da parábola. O coeficiente de , que é , é positivo. Isso significa que a parábola é côncava para cima, ou seja, abre para cima.

Passo 6

Para ter mais pontos no gráfico, podemos escolher alguns valores de e calcular .
Por exemplo:
  • Se :
Então, o ponto é .
  • Se :
Então, o ponto é .
Esses pontos confirmam que a parábola é simétrica em relação ao eixo y.

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  1. Plotamos o vértice em .
  2. Desenhamos o eixo de simetria .
  3. Marcamos os pontos e .
  4. Desenhamos a parábola abrindo para cima, passando pelo vértice e pelos pontos marcados.

Resposta

O gráfico da função é uma parábola com vértice em , simétrica em relação ao eixo y, que abre para cima e não intercepta o eixo x. Ela passa pelos pontos e .

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