Esboce o gráfico das funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar o gráfico da função . Isso está dentro do conteúdo de funções logarítmicas, que são importantes para entender crescimento e decrescimento em várias situações. Para resolver, vamos precisar identificar o domínio da função, pontos importantes como interceptações e assíntotas, e ver como a função se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O logaritmo natural, , só está definido para argumentos positivos. Então, a expressão dentro do logaritmo, , precisa ser maior que zero:
Ou seja, nossa função só existe para valores de maiores que 1.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a interseção com o eixo y. Para isso, substituímos na função:
Mas não está definido, o que confirma que não há interseção com o eixo y dentro do domínio da função.

Passo 4

Vamos então encontrar a interseção com o eixo x. Isso acontece quando :
Para resolver isso, usamos a definição do logaritmo:
Então, a interseção com o eixo x está aproximadamente em .

Passo 5

Vamos identificar a assíntota vertical da função. Como o domínio começa em , há uma assíntota vertical em . Isso significa que o gráfico se aproxima dessa linha, mas nunca a toca.

Passo 6

Por último, vamos analisar o comportamento da função:
  • À medida que aumenta, também aumenta, e assim aumenta lentamente.
  • À medida que se aproxima de 1 pela direita, tende a menos infinito, então também tende a menos infinito.

Resposta

O gráfico de é uma curva logarítmica que está deslocada 1 unidade para a direita e 1 unidade para baixo. Possui uma assíntota vertical em e passa pelo ponto aproximadamente em . A função cresce lentamente conforme aumenta e não tem interseção com o eixo y dentro de seu domínio.

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Encontre :
, com
Considere a equação .
Encontre o valor de para o qual essa equação tenha quatro soluções. (Existem vários valores com essas condições.)