Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar o gráfico da função . Isso está dentro do conteúdo de funções logarítmicas, que são importantes para entender crescimento e decrescimento em várias situações. Para resolver, vamos precisar identificar o domínio da função, pontos importantes como interceptações e assíntotas, e ver como a função se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O logaritmo natural, , só está definido para argumentos positivos. Então, a expressão dentro do logaritmo, , precisa ser maior que zero:
Ou seja, nossa função só existe para valores de maiores que 1.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a interseção com o eixo y. Para isso, substituímos na função:
Mas não está definido, o que confirma que não há interseção com o eixo y dentro do domínio da função.
Passo 4
Vamos então encontrar a interseção com o eixo x. Isso acontece quando :
Para resolver isso, usamos a definição do logaritmo:
Então, a interseção com o eixo x está aproximadamente em .
Passo 5
Vamos identificar a assíntota vertical da função. Como o domínio começa em , há uma assíntota vertical em . Isso significa que o gráfico se aproxima dessa linha, mas nunca a toca.
Passo 6
Por último, vamos analisar o comportamento da função:
À medida que aumenta, também aumenta, e assim aumenta lentamente.
À medida que se aproxima de 1 pela direita, tende a menos infinito, então também tende a menos infinito.
Resposta
O gráfico de é uma curva logarítmica que está deslocada 1 unidade para a direita e 1 unidade para baixo. Possui uma assíntota vertical em e passa pelo ponto aproximadamente em . A função cresce lentamente conforme aumenta e não tem interseção com o eixo y dentro de seu domínio.