Esboce o gráfico das funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa esboçar o gráfico da função
. Isso está relacionado ao estudo das funções exponenciais e suas transformações. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função básica
se comporta e como as alterações na fórmula afetam o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é o gráfico da função exponencial básica
. Essa função tem um crescimento rápido à medida que
aumenta e se aproxima de zero quando
diminui, mas nunca toca o eixo
— isso é o que chamamos de assíntota horizontal em
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função dada:
. Aqui, temos duas transformações:
- O expoente é
em vez de , o que reflete o gráfico da função em relação ao eixo , invertendo a direção do aumento e diminuição. - O sinal negativo na frente faz uma reflexão adicional em relação ao eixo
.
Passo 4
Vamos entender o que cada transformação faz:
-
Reflexão em relação ao eixo
: Substituir por na função transforma em . Isso faz com que o gráfico agora cresça para a esquerda e decresça para a direita. -
Reflexão em relação ao eixo
: Multiplicar a função por transforma em . Isso inverte o gráfico acima do eixo , tornando-o negativo.
Passo 5
Vamos identificar alguns pontos chave para facilitar o esboço:
-
Quando
: -
Quando
: -
Quando
:
Esses pontos nos ajudam a ver como a função se comporta em diferentes valores de
.
Passo 6
Também é importante identificar a assíntota da função. Para
, a assíntota horizontal é
, já que conforme
tende a
,
tende a 0, e multiplicando por -1,
também tende a 0.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- O gráfico começa perto de
à medida que aumenta. - Passa pelo ponto
. - Desce para
quando . - Continua descendo mais a esquerda, passando por
, e assim por diante. - Nunca toca o eixo
, mantendo-se sempre abaixo dele.
Resposta
O gráfico da função
é uma curva que está sempre abaixo do eixo
, com uma assíntota horizontal em
. Ele passa pelo ponto
, decresce suavemente à medida que
aumenta e cai rapidamente à medida que
diminui, refletindo-se em relação aos eixos
e
comparado à função exponencial básica.