Esboce o gráfico das funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa esboçar o gráfico da função . Isso está relacionado ao estudo das funções exponenciais e suas transformações. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função básica se comporta e como as alterações na fórmula afetam o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é o gráfico da função exponencial básica . Essa função tem um crescimento rápido à medida que aumenta e se aproxima de zero quando diminui, mas nunca toca o eixo — isso é o que chamamos de assíntota horizontal em .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função dada: . Aqui, temos duas transformações:
  1. O expoente é em vez de , o que reflete o gráfico da função em relação ao eixo , invertendo a direção do aumento e diminuição.
  2. O sinal negativo na frente faz uma reflexão adicional em relação ao eixo .

Passo 4

Vamos entender o que cada transformação faz:
  • Reflexão em relação ao eixo : Substituir por na função transforma em . Isso faz com que o gráfico agora cresça para a esquerda e decresça para a direita.
  • Reflexão em relação ao eixo : Multiplicar a função por transforma em . Isso inverte o gráfico acima do eixo , tornando-o negativo.

Passo 5

Vamos identificar alguns pontos chave para facilitar o esboço:
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
Esses pontos nos ajudam a ver como a função se comporta em diferentes valores de .

Passo 6

Também é importante identificar a assíntota da função. Para , a assíntota horizontal é , já que conforme tende a , tende a 0, e multiplicando por -1, também tende a 0.

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • O gráfico começa perto de à medida que aumenta.
  • Passa pelo ponto .
  • Desce para quando .
  • Continua descendo mais a esquerda, passando por , e assim por diante.
  • Nunca toca o eixo , mantendo-se sempre abaixo dele.

Resposta

O gráfico da função é uma curva que está sempre abaixo do eixo , com uma assíntota horizontal em . Ele passa pelo ponto , decresce suavemente à medida que aumenta e cai rapidamente à medida que diminui, refletindo-se em relação aos eixos e comparado à função exponencial básica.

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico das funções:
Considere a equação .
Encontre o valor de para o qual essa equação tenha quatro soluções. (Existem vários valores com essas condições.)
Faça o gráfico de cada função e identifique os intervalos nos quais temos uma função crescente, decrescente ou constante e determine o domínio e a imagem
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