Considere as equações paramétricas da elipse com centro na origem :
onde .
Calcule o comprimento de utilizando as equações paramétricas fornecidas.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar o comprimento de uma elipse definida por equações paramétricas. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo de arcos de curvas paramétricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como calcular o comprimento de uma curva definida por equações paramétricas. Se temos uma curva dada por e , o comprimento dessa curva de a é dado pela integral:
Passo 3
No nosso caso, as equações paramétricas da elipse são:
Vamos calcular as derivadas de e em relação a :
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Essa integral não tem uma solução em termos de funções elementares, mas pode ser expressa usando a Função Elíptica de Segunda Espécie. A fórmula para o comprimento de uma elipse é:
onde é a Função Elíptica Completa de Segunda Espécie e é a excentricidade da elipse, definida por: