Considere as equações paramétricas da elipse E com centro na origem (0,0) :
x(phi) = a cos(phi) e y(phi) = b sen(phi) para phi in [0, 2 pi]
onde a, b pertencem a (0,+infinito).
Calcule o comprimento de E utilizando as equações paramétricas fornecidas.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar o comprimento de uma elipse definida por equações paramétricas. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo de arcos de curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular o comprimento de uma curva definida por equações paramétricas. Se temos uma curva dada por e , o comprimento dessa curva de a é dado pela integral:

Passo 3

No nosso caso, as equações paramétricas da elipse são:
Vamos calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Essa integral não tem uma solução em termos de funções elementares, mas pode ser expressa usando a Função Elíptica de Segunda Espécie. A fórmula para o comprimento de uma elipse é:
onde é a Função Elíptica Completa de Segunda Espécie e é a excentricidade da elipse, definida por:

Resposta

O comprimento da elipse é dado por:

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