Considere as equações paramétricas da elipse com centro na origem :
onde .
Calcule o comprimento de utilizando as equações paramétricas fornecidas.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar o comprimento de uma elipse definida por equações paramétricas. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo de arcos de curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular o comprimento de uma curva definida por equações paramétricas. Se temos uma curva dada por e , o comprimento dessa curva de a é dado pela integral:

Passo 3

No nosso caso, as equações paramétricas da elipse são:
Vamos calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Essa integral não tem uma solução em termos de funções elementares, mas pode ser expressa usando a Função Elíptica de Segunda Espécie. A fórmula para o comprimento de uma elipse é:
onde é a Função Elíptica Completa de Segunda Espécie e é a excentricidade da elipse, definida por:

Resposta

O comprimento da elipse é dado por:

Exercícios relacionados

Considere as equações paramétricas da circunferência de raio e centro na origem :
Utilizando as equações paramétricas fornecidas, calcule a área delimitada por , isto é, a área do disco de raio .
Considere as equações paramétricas da circunferência de raio e centro na origem :
Calcule o comprimento de utilizando as equações paramétricas fornecidas.
Considere as equações paramétricas da curva parametrizada :
Então, encontre a área delimitada pela curva e o eixo .
Considere a equação polar (equação em coordenadas polares) de uma curva :
Determine a equação cartesiana de .