Mostre que e são soluções LI desta equação válidas para todo , embora , para todo .
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
E queremos mostrar que as funções e são soluções dessa equação para todo . Além disso, precisamos provar que essas soluções são linearmente independentes (LI) mesmo que o Wronskiano para todo . Para resolver isso, vamos passo a passo:
Verificar se cada função é uma solução da equação diferencial.
Demonstrar que as funções são linearmente independentes.
Entender por que o Wronskiano é zero mesmo sendo LI.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se é uma solução da equação diferencial. Para isso, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de e substituir na equação.
Calculando as derivadas:
Agora, substituímos , e na equação diferencial:
Como a equação resultou em zero, é realmente uma solução da equação diferencial.
Passo 3
Agora, vamos verificar se também é uma solução.
Primeiro, notamos que pode ser escrito como , onde é a função sinal. Então:
Calculando as derivadas:
A derivada de em não é definida, mas para , . Então, para :
Calculando a segunda derivada:
Agora, substituímos , e na equação diferencial para :
Fatorando :
Portanto, para , também satisfaz a equação diferencial.
Passo 4
Agora, vamos analisar a independência linear das funções e .
Duas funções são linearmente independentes se não existe uma constante tal que para todo .
Observando as funções:
Para :
Para :
Para :
Apesar de parecer que é simplesmente multiplicado por , que assume valores ou , essa multiplicação depende do sinal de . Portanto, não existe uma constante fixa que relacione e para todos os valores de . Isso significa que as funções são linearmente independentes.
Passo 5
Por fim, vamos entender por que o Wronskiano para todo , mesmo que as funções sejam LI.
O Wronskiano é definido como:
Calculando para nossas funções:
Mesmo com o Wronskiano sendo zero, as funções são LI porque a condição do Wronskiano não captura todas as nuances da dependência linear, especialmente quando há pontos de descontinuidade ou não diferenciabilidade, como ocorre em para .
Resposta
As funções e são soluções da equação diferencial para todo e são linearmente independentes, apesar do Wronskiano para todo .