Deve-se construir um depósito retangular sem tampa com volume . O custo por metro quadrado do material a ser usado é de para o fundo, para dois dos lados opostos e para os lados opostos restantes. Determine as dimensões do depósito que minimizem o custo.
Passo 1
Então, a gente tem que construir um depósito retangular sem tampa com um volume de . O custo dos materiais varia: o fundo custa R$ 400,00 por metro quadrado, dois lados opostos custam R$ 300,00 cada por metro quadrado, e os outros dois lados custam R$ 200,00 cada por metro quadrado. Nosso objetivo aqui é encontrar as dimensões do depósito que vão fazer com que o custo total seja o menor possível.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis. Vamos chamar:
de comprimento do depósito,
de largura,
de altura.
Como o depósito é retangular e sem tampa, o volume é dado por:
Sabemos que , então:
Essa será a nossa primeira equação.
Passo 3
Agora, vamos calcular a área de cada parte do depósito:
Área do fundo:
Área dos dois lados que custam R$ 300,00:
Área dos dois lados que custam R$ 200,00:
Passo 4
O custo total será a soma dos custos de cada parte:
Substituindo as áreas:
Simplificando:
Passo 5
Queremos minimizar sujeito à restrição . Para facilitar, podemos expressar em função de e :
Passo 6
Substituindo na expressão do custo :
Simplificando:
Passo 7
Para encontrar o mínimo, vamos derivar em relação a e e igualar a zero:
Passo 8
Resolvendo a primeira equação para :
Resolvendo a segunda equação para :
Passo 9
Agora, vamos substituir em termos de na equação de :
Simplificando essa expressão pode ser complicado, então uma abordagem melhor é assumir que , já que os custos são diferentes para os lados, mas para minimizar o custo, simetria muitas vezes ajuda.
Passo 10
Assumindo , então .
Substituindo em :
Passo 11
Vamos derivar em relação a e igualar a zero para encontrar o mínimo:
Passo 12
Como :
E a altura :
Resposta
As dimensões que minimizam o custo do depósito são aproximadamente: