Deve-se construir um depósito retangular sem tampa com volume V = 12 m^3. O custo por metro quadrado do material a ser usado é de R para o fundo, para o fundo para dois dos lados opostos e 300,00 para os lados opostos restantes. Determine as dimensões do depósito que minimizem o custo.

Passo 1

Então, a gente tem que construir um depósito retangular sem tampa com um volume de . O custo dos materiais varia: o fundo custa R$ 400,00 por metro quadrado, dois lados opostos custam R$ 300,00 cada por metro quadrado, e os outros dois lados custam R$ 200,00 cada por metro quadrado. Nosso objetivo aqui é encontrar as dimensões do depósito que vão fazer com que o custo total seja o menor possível.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis. Vamos chamar:
  • de comprimento do depósito,
  • de largura,
  • de altura.
Como o depósito é retangular e sem tampa, o volume é dado por:
Sabemos que , então:
Essa será a nossa primeira equação.

Passo 3

Agora, vamos calcular a área de cada parte do depósito:
  • Área do fundo:
  • Área dos dois lados que custam R$ 300,00:
  • Área dos dois lados que custam R$ 200,00:

Passo 4

O custo total será a soma dos custos de cada parte:
Substituindo as áreas:
Simplificando:

Passo 5

Queremos minimizar sujeito à restrição . Para facilitar, podemos expressar em função de e :

Passo 6

Substituindo na expressão do custo :
Simplificando:

Passo 7

Para encontrar o mínimo, vamos derivar em relação a e e igualar a zero:

Passo 8

Resolvendo a primeira equação para :
Resolvendo a segunda equação para :

Passo 9

Agora, vamos substituir em termos de na equação de :
Simplificando essa expressão pode ser complicado, então uma abordagem melhor é assumir que , já que os custos são diferentes para os lados, mas para minimizar o custo, simetria muitas vezes ajuda.

Passo 10

Assumindo , então .
Substituindo em :

Passo 11

Vamos derivar em relação a e igualar a zero para encontrar o mínimo:

Passo 12

Como :
E a altura :

Resposta

As dimensões que minimizam o custo do depósito são aproximadamente:
  • Comprimento ,
  • Largura ,
  • Altura .

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